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德国网站建设,网站空间的建设,关注公众号一单一结兼职,太月星网站建设程序开发题目链接 P1883 函数 思路 举例 题目中的 F ( x ) F(x) F(x) 看起来很复杂#xff0c;但由于每个 f ( x ) f(x) f(x) 的二次项系数 a a a 都不是负数#xff0c;故 F ( x ) F(x) F(x) 是一个单谷函数。直接说出结论可能有些令人难以接受#xff0c;不妨举出两个例子…题目链接 P1883 函数 思路 举例 题目中的 F ( x ) F(x) F(x) 看起来很复杂但由于每个 f ( x ) f(x) f(x) 的二次项系数 a a a 都不是负数故 F ( x ) F(x) F(x) 是一个单谷函数。直接说出结论可能有些令人难以接受不妨举出两个例子。 第一个例子是 a a a 大于0的情况即 f 1 ( x ) x 2 , f 2 ( x ) x 2 − 2 x 10 f_1(x)x^2,f_2(x)x^2-2x10 f1​(x)x2,f2​(x)x2−2x10 图像如下 显然当 x ≥ 5 x≥5 x≥5 时 f 1 ( x ) ≥ f 2 ( x ) f_1(x)≥f_2(x) f1​(x)≥f2​(x) 当 0 ≤ x 5 0≤x5 0≤x5 时 f 1 ( x ) f 2 ( x ) f_1(x)f_2(x) f1​(x)f2​(x) 。所以在区间 [ 0 , 5 ) [0, 5) [0,5) 上 F ( x ) F(x) F(x) 取 f 2 ( x ) f_2(x) f2​(x) 的函数值所以在区间 [ 5 , 1000 ] [5, 1000] [5,1000] 上 F ( x ) F(x) F(x) 取 f 1 ( x ) f_1(x) f1​(x) 的函数值。显然 F ( x ) F(x) F(x) 的图像是一个单谷函数有最小值。 第二个例子是 a a a 等于0的情况即 f 1 ( x ) x 2 , f 2 ( x ) x 2 f_1(x)x^2,f_2(x)x2 f1​(x)x2,f2​(x)x2 图像如下 显然当 x ≥ 2 x≥2 x≥2 时 f 1 ( x ) ≥ f 2 ( x ) f_1(x)≥f_2(x) f1​(x)≥f2​(x) 当 0 ≤ x 2 0≤x2 0≤x2 时 f 1 ( x ) f 2 ( x ) f_1(x)f_2(x) f1​(x)f2​(x) 。所以在区间 [ 0 , 2 ) [0, 2) [0,2) 上 F ( x ) F(x) F(x) 取 f 2 ( x ) f_2(x) f2​(x) 的函数值所以在区间 [ 2 , 1000 ] [2, 1000] [2,1000] 上 F ( x ) F(x) F(x) 取 f 1 ( x ) f_1(x) f1​(x) 的函数值。显然 F ( x ) F(x) F(x) 的图像是一个单谷函数有最小值。 通过以上两个例子可推得只要 a ≥ 0 a≥0 a≥0 那么无论增加多少个二次函数(或者退化为一次函数)最终形成的函数 F ( x ) F(x) F(x) 势必是一个单谷函数有最小值故想到使用三分法求最小值。 三分法 对于初始的区间左端点 l e f t left left 为0右端点 r i g h t right right 为1000左三等分点 m i d L midL midL 和右三等分点 m i d R midR midR 在循环中更新。 如果 F ( m i d L ) F ( m i d R ) F(midL) F(midR) F(midL)F(midR) 说明函数的最小值点在区间 [ m i d L , r i g h t ] [midL, right] [midL,right] 故更新 l e f t left left 到 m i d L midL midL 否则说明函数的最小值点在区间 [ l e f t , m i d R ] [left, midR] [left,midR] 故更新 r i g h t right right 到 m i d R midR midR 。如果不理解三分的更新子区间请参考算法——三分法。 当区间长度小于指定精度 p r e c i s i o n precision precision 时退出循环输出结果。详见代码。 使用inline 题解中使用了关键字 i n l i n e inline inline 只要一个函数被 i n l i n e inline inline 修饰(这种函数被称为内联函数)那么使用该函数的地方会粘贴函数体里面的代码从而加快函数的调用并且减少栈空间的浪费。求 f 1 ( x ) , f 2 ( x ) , . . . , f n ( x ) f_1(x), f_2(x),...,f_n(x) f1​(x),f2​(x),...,fn​(x) 的函数值被使用了很多次故使用内联函数加快执行速度。 代码 #include iostream #include cstdio using std::cin, std::cout; const int N 1e4 5; // 数组长度 const double precision 1e-9; // 精度 /*n是二次函数的个数 a[]保存二次项系数b[]保存一次项系数 c[]保存常数项 */ int n, a[N], b[N], c[N]; inline double func(double x, int num) { // 求第num个二次函数在x处的取值return a[num] * x * x b[num] * x c[num]; } double getFuncMax(double x) { // 求F(x)在x处的取值double res func(x, 0);for (int i 1; i n; i) {double temp func(x, i);res res temp ? res : temp;}return res; } void process() { // 每个测试案例的解决方案cin n;for (int i 0; i n; i) {cin a[i] b[i] c[i];}double left 0.0, right 1000.0, midL, midR;while (right - left precision) {midL left (right - left) / 3.0;midR right - (right - left) / 3.0;if (getFuncMax(midL) getFuncMax(midR)) {left midL;} else {right midR;}}printf(%.4lf\n, getFuncMax(left)); // left是F(x)的最小值点 } int main() {int t; // 测试案例的个数cin t;while (t-- 0) {process();}return 0; }说明 本文的两个函数图像由 G e o G e b r a GeoGebra GeoGebra 生成。
http://www.sadfv.cn/news/219990/

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