推广网站代码,云虚拟主机做二个网站,摄影网站制作步骤html,上海制作企业网站序号内容1【数理知识】向量的坐标基表示法#xff0c;Matlab 代码验证2【数理知识】向量与基的内积#xff0c;Matlab 代码验证 文章目录 1. 向量的坐标基表示2. 二维平面向量举例3. Matlab 代码验证Ref 1. 向量的坐标基表示
假设空间中存在一个向量 a ⃗ \vec{a} a #…序号内容1【数理知识】向量的坐标基表示法Matlab 代码验证2【数理知识】向量与基的内积Matlab 代码验证 文章目录 1. 向量的坐标基表示2. 二维平面向量举例3. Matlab 代码验证Ref 1. 向量的坐标基表示
假设空间中存在一个向量 a ⃗ \vec{a} a 在不同的坐标系或称坐标基下向量 a ⃗ \vec{a} a 由不同的坐标值表示。
当坐标基唯一确定后对应的坐标值也唯一确定。同时向量也可以由坐标值和坐标基线性组合的形式来表示。 当向量为二维平面的向量时可表示为 a ⃗ a x e ⃗ 1 a y e ⃗ 2 [ e ⃗ 1 e ⃗ 2 ] [ a x a y ] \vec{a} a_x \vec{e}_1 a_y \vec{e}_2 \left[\begin{matrix}\vec{e}_1 \vec{e}_2 \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}a_x \\ a_y \end{matrix}\right] a axe 1aye 2[e 1e 2][axay] 当向量为三维空间的向量时可表示为 a ⃗ a x e ⃗ 1 a y e ⃗ 2 a z e ⃗ 3 [ e ⃗ 1 e ⃗ 2 e ⃗ 3 ] [ a x a y a z ] \vec{a} a_x \vec{e}_1 a_y \vec{e}_2 a_z \vec{e}_3 \left[\begin{matrix}\vec{e}_1 \vec{e}_2 \vec{e}_3 \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}a_x \\ a_y \\ a_z \end{matrix}\right] a axe 1aye 2aze 3[e 1e 2e 3] axayaz 2. 二维平面向量举例
接下来基于二维平面的一个向量来举例不过三维空间的情况具有同样的性质和结论。
假设存在一个上述的二维平面向量 a ⃗ \vec{a} a 在标准坐标基 e ⃗ 1 [ 1 0 ] , e ⃗ 2 [ 0 1 ] \vec{e}_1\left[\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ \end{matrix}\right], \vec{e}_2\left[\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ \end{matrix}\right] e 1[10],e 2[01] 下的坐标值为 [ a x a y ] [ 3 4 ] \left[\begin{matrix}a_x \\ a_y \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}3 \\ 4 \end{matrix}\right] [axay][34]。那么此向量可以表示为 a ⃗ a x e ⃗ 1 a y e ⃗ 2 [ e ⃗ 1 e ⃗ 2 ] [ a x a y ] 3 [ 1 0 ] 4 [ 0 1 ] [ 1 0 0 1 ] [ 3 4 ] [ 3 4 ] \begin{aligned} \vec{a} a_x \vec{e}_1 a_y \vec{e}_2 \left[\begin{matrix}\vec{e}_1 \vec{e}_2 \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}a_x \\ a_y \end{matrix}\right] \\ 3 \left[\begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix}\right] 4 \left[\begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} 1 0 \\ 0 1 \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}3 \\ 4 \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}3 \\ 4 \end{matrix}\right] \end{aligned} a axe 1aye 2[e 1e 2][axay]3[10]4[01][1001][34][34]
现在我们更改坐标基为 e ⃗ 1 ′ [ 1 2 1 2 ] , e ⃗ 2 ′ [ − 1 2 1 2 ] \vec{e}_{1^\prime}\left[\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \end{matrix}\right], \vec{e}_{2^\prime}\left[\begin{matrix} -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \end{matrix}\right] e 1′[2 12 1],e 2′[−2 12 1]此新基下的坐标值为 [ a x ′ a y ′ ] [ 7 2 1 2 ] \left[\begin{matrix}a_{x^\prime} \\ a_{y^\prime} \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} \frac{7}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix}\right] [ax′ay′][2 72 1]。那么此向量可以表示为 a ⃗ 7 2 [ 1 2 1 2 ] 1 2 [ − 1 2 1 2 ] [ 1 2 − 1 2 1 2 1 2 ] [ 7 2 1 2 ] [ 3 4 ] \begin{aligned} \vec{a} \frac{7}{\sqrt{2}} \left[\begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix}\right] \frac{1}{\sqrt{2}} \left[\begin{matrix}-\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}} -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} \frac{7}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}3 \\ 4 \end{matrix}\right] \end{aligned} a 2 7[2 12 1]2 1[−2 12 1][2 12 1−2 12 1][2 72 1][34]
上述例子我们可以看到无论是在哪个坐标基下永远存在如下等式 a ⃗ a x e ⃗ 1 a y e ⃗ 2 [ e ⃗ 1 e ⃗ 2 ] [ a x a y ] a x ′ e ⃗ 1 ′ a y ′ e ⃗ 2 ′ [ e ⃗ 1 ′ e ⃗ 2 ′ ] [ a x ′ a y ′ ] \begin{aligned} \vec{a} a_x \vec{e}_1 a_y \vec{e}_2 \left[\begin{matrix}\vec{e}_1 \vec{e}_2 \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}a_x \\ a_y \end{matrix}\right] \\ a_{x^\prime} \vec{e}_{1^\prime} a_{y^\prime} \vec{e}_{2^\prime} \left[\begin{matrix}\vec{e}_{1^\prime} \vec{e}_{2^\prime} \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}a_{x^\prime} \\ a_{y^\prime} \end{matrix}\right] \end{aligned} a axe 1aye 2[e 1e 2][axay]ax′e 1′ay′e 2′[e 1′e 2′][ax′ay′]
针对三维空间中的向量同样具有类似的结论。 至于新基下的坐标值是如何得到的我们可以通过以下步骤实现 [ e ⃗ 1 e ⃗ 2 ] [ a x a y ] [ e ⃗ 1 ′ e ⃗ 2 ′ ] [ a x ′ a y ′ ] [ e ⃗ 1 ′ e ⃗ 2 ′ ] − 1 [ e ⃗ 1 e ⃗ 2 ] [ a x a y ] [ a x ′ a y ′ ] [ 1 2 − 1 2 1 2 1 2 ] − 1 [ 1 0 0 1 ] [ 3 4 ] [ 7 2 1 2 ] \begin{aligned} \left[\begin{matrix}\vec{e}_1 \vec{e}_2 \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}a_x \\ a_y \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}\vec{e}_{1^\prime} \vec{e}_{2^\prime} \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}a_{x^\prime} \\ a_{y^\prime} \end{matrix}\right] \\ \left[\begin{matrix}\vec{e}_{1^\prime} \vec{e}_{2^\prime} \end{matrix}\right]^{-1} \left[\begin{matrix}\vec{e}_1 \vec{e}_2 \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}a_x \\ a_y \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}a_{x^\prime} \\ a_{y^\prime} \end{matrix}\right] \\ \left[\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}} -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix}\right]^{-1} \left[\begin{matrix} 1 0 \\ 0 1 \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} 3 \\ 4 \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} \frac{7}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix}\right] \\ \end{aligned} [e 1e 2][axay][e 1′e 2′]−1[e 1e 2][axay][2 12 1−2 12 1]−1[1001][34][e 1′e 2′][ax′ay′][ax′ay′][2 72 1] 3. Matlab 代码验证
a_x 3;
a_y 4;e_1 [ 10];
e_2 [ 01];a_x_prime 7/sqrt(2);
a_y_prime 1/sqrt(2);e_1_prime [ sqrt(2)/2sqrt(2)/2];
e_2_prime [-sqrt(2)/2sqrt(2)/2];pinv([e_1_prime e_2_prime]) * [e_1 e_2] * [a_x; a_y]
ans 4.94970.7071 a_x_prime
ans 4.9497 a_y_prime
ans 0.7071Ref
