医院网站运营方案,室内设计三维效果图,统计网站的代码,郑州网站建设网站推广文章目录 abstract典型曲线心形线玫瑰线阿基米德螺线伯努利双扭线 abstract
除了圆和圆锥曲线外,还有许多曲线用极坐标描述会简单得多
典型曲线 分析下列曲线时,线分析是否含有三角函数(周期性) 利用描点法做出单个周期内的图形 作图:可以打开geogebra https://www.geogebr… 文章目录 abstract典型曲线心形线玫瑰线阿基米德螺线伯努利双扭线 abstract
除了圆和圆锥曲线外,还有许多曲线用极坐标描述会简单得多
典型曲线 分析下列曲线时,线分析是否含有三角函数(周期性) 利用描点法做出单个周期内的图形 作图:可以打开geogebra https://www.geogebra.org/calculator/fds4duvm
心形线 r r r a ( 1 − cos θ ) a(1-\cos\theta) a(1−cosθ), ( a 0 ) (a0) (a0) 周期 T T T 2 π 2\pi 2π奇偶性:偶函数,图形关于极轴对称 ( r , θ ) (r,\theta) (r,θ), ( r , 2 π − θ ) (r,2\pi-\theta) (r,2π−θ)同时位于图形上综上,只要考虑 [ 0 , π ] [0,\pi] [0,π]上的图形,就可以通过翻折图形,的到整个周期的图形而在 [ 0 , π ] [0,\pi] [0,π]上, cos θ \cos\theta cosθ是从 1 → 0 → − 1 1\to{0}\to{-1} 1→0→−1的递减函数,前半程是凸函数,后半程是凹函数; 从而 1 − cos θ 1-\cos\theta 1−cosθ从 0 → 1 → 2 0\to{1}\to{2} 0→1→2是一个递增的过程,因此 a ( 1 − cos θ ) a(1-\cos\theta) a(1−cosθ)从 0 → 2 a 0\to{2a} 0→2a
玫瑰线 r r r a sin 3 θ a\sin{3\theta} asin3θ, ( a 0 ) (a0) (a0) 三叶玫瑰线 周期为 T 2 π / 3 T2\pi/3 T2π/3,作图时考虑 [ 0 , 2 π 3 ] [0,\frac{2\pi}{3}] [0,32π]内的区间;根据周期性,就可以直接得到 [ 2 π 3 , 4 π 3 ] [\frac{2\pi}3,\frac{4\pi}{3}] [32π,34π]以及 [ 4 π 3 , 2 π ] [\frac{4\pi}{3},2\pi] [34π,2π]内的图形 t 3 θ t3\theta t3θ0 π 4 \frac{\pi}{4} 4π π 2 \frac{\pi}{2} 2π 3 4 π \frac{3}{4}\pi 43π π \pi π 5 4 π \frac{5}{4}\pi 45π 3 2 π \frac{3}{2}\pi 23π 7 4 π \frac{7}{4}\pi 47π 2 π 2\pi 2π θ \theta θ 0 0 0 1 12 π \frac{1}{12}\pi 121π π 6 \frac{\pi}{6} 6π 1 4 π \frac{1}{4}\pi 41π 1 3 π \frac{1}{3}\pi 31π 5 12 π \frac{5}{12}\pi 125π 1 2 π \frac{1}{2}\pi 21π 7 12 π \frac{7}{12}\pi 127π 2 3 π \frac{2}{3}\pi 32π r r r a sin 3 θ a\sin{3\theta} asin3θ 0 0 0 2 2 a \frac{\sqrt{2}}{2}a 22 a a a a 2 2 a \frac{\sqrt{2}}{2}a 22 a0 − 2 2 a -\frac{\sqrt{2}}{2}a −22 a − a -a −a − 2 2 a -\frac{\sqrt{2}}{2}a −22 a 0 0 0 通过描点可以发现,该图形在 [ 0 , 2 3 π ] [0,\frac{2}{3}\pi] [0,32π]内会产生2片叶子;若将其放直角坐标系上,极点和极轴正方向分别和直角坐标系重合,则第一片叶子落在区间 [ 0 , π 3 ] [0,\frac{\pi}{3}] [0,3π];第二片叶子落在 [ 4 3 π , 5 3 π ] [\frac{4}{3}\pi,\frac{5}{3}\pi] [34π,35π];每片叶子占据 1 3 π \frac{1}{3}\pi 31π的弧度,从顺时针的角度看,两片叶子相距 4 3 π \frac{4}{3}\pi 34π,从顺时针看,两片叶子相距 2 π − 4 3 π 2 π 3 2\pi-\frac{4}{3}\pi\frac{2\pi}{3} 2π−34π32π
阿基米德螺线 r a θ ra\theta raθ, ( a 0 , θ ⩾ 0 ) (a0,\theta\geqslant{0}) (a0,θ⩾0) 这个曲线的极坐标方程形式很简单,一个常系数 a a a和极角 θ \theta θ的乘积 r r r随着 θ \theta θ的增大而增大
伯努利双扭线 有两种常见形式: r 2 r^2 r2 a 2 cos 2 θ a^2\cos2\theta a2cos2θ, ( a 0 ) (a0) (a0) r 2 r^2 r2 a 2 sin 2 θ a^2\sin2\theta a2sin2θ, ( a 0 ) (a0) (a0) 分析 定义域: 考虑到 r 2 ⩾ 0 r^2\geqslant{0} r2⩾0, a 2 ⩾ 0 a^2\geqslant{0} a2⩾0,则对于形式1,2分别要求 cos 2 θ , sin 2 θ ⩾ 0 \cos2\theta,\sin{2\theta}\geqslant0 cos2θ,sin2θ⩾0 以形式(2)为例, sin 2 θ ⩾ 0 \sin2\theta\geqslant{0} sin2θ⩾0,从而 t 2 θ ∈ [ 2 k π , π 2 k π ] t2\theta\in[2k\pi,\pi2k\pi] t2θ∈[2kπ,π2kπ],即 θ ∈ [ k π , π 2 k π ] \theta\in[k\pi,\frac{\pi}{2}k\pi] θ∈[kπ,2πkπ]容易发现图形是不连续的某些 θ \theta θ区间上没有定义 周期性: T π T\pi Tπ奇偶性: 形式(1)是偶函数,图形关于极轴对称形式(2)是奇函数,图形关于极点对称 两种形式的关系: sin ( θ π 2 ) \sin(\theta\frac{\pi}{2}) sin(θ2π) cos θ \cos\theta cosθ;则 sin ( 2 θ π 2 ) \sin(2\theta\frac{\pi}{2}) sin(2θ2π) cos 2 θ \cos{2\theta} cos2θ,即 sin 2 ( θ π 4 ) \sin{2(\theta\frac{\pi}{4})} sin2(θ4π) cos θ \cos\theta cosθ, 这意味着将图形(2)往负角方向旋转,即顺时针旋转 π 4 \frac{\pi}{4} 4π,就能得到图形(1)这和直角坐标系上的图形的 f ( x a ) f(xa) f(xa)是 f ( x ) f(x) f(x)往 x x x轴负方向移动类似(“负加正减,负向移动加,正向移动间”) 以形式(2)为例分析 考虑到周期为 π \pi π,我们研究 θ ∈ [ 0 , π ] \theta\in[0,\pi] θ∈[0,π]内即可,又考虑到定义域,因此我们在 θ ∈ [ 0 , π 2 ] \theta\in[0,\frac{\pi}{2}] θ∈[0,2π]上研究 为了描点,将方程(2)变形为 r r r a sin 2 θ a\sqrt{\sin{2\theta}} asin2θ θ \theta θ 0 0 0 π 8 \frac{\pi}{8} 8π π 4 \frac{\pi}{4} 4π 3 8 π \frac{3}{8}\pi 83π 1 2 π \frac{1}{2}\pi 21π t 2 θ t2\theta t2θ 0 0 0 π 4 \frac{\pi}{4} 4π π 2 \frac{\pi}{2} 2π 3 4 π \frac{3}{4}\pi 43π π \pi π r r r 0 0 0 2 2 a \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{2}}a 22 a a a a 2 2 a \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{2}}a 22 a 0 0 0 从单调性分析: sin 2 θ \sin2\theta sin2θ在 2 θ ∈ [ 0 , π ] 2\theta\in[0,\pi] 2θ∈[0,π]上的变化为: [ 0 , π 2 ] [0,\frac{\pi}2] [0,2π]递增, [ π 2 , π ] [\frac{\pi}{2},\pi] [2π,π]上递减;相应的, θ \theta θ区间 [ 0 , π 4 ] [0,\frac{\pi}{4}] [0,4π], [ π 4 , π 2 ] [\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}] [4π,2π]上分别递增和递减,这就是 r r r的变换规律
