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2023年11月30日 #analysis 文章目录 结式 resultant介绍Sylvester矩阵应用在消元中的应用传递函数的化简 下链 介绍
结式用来计算曲线的交点、消元、找参数化曲线的隐含方程。 为了引出定义#xff0c;思考如下问题#xff1a; f ( x ) x 2 − 5 x 6 g (…结式 resultant
2023年11月30日 #analysis 文章目录 结式 resultant介绍Sylvester矩阵应用在消元中的应用传递函数的化简 下链 介绍
结式用来计算曲线的交点、消元、找参数化曲线的隐含方程。 为了引出定义思考如下问题 f ( x ) x 2 − 5 x 6 g ( x ) x 3 − x 6 \begin{align*} f(x)x^2-5x6 \\ \\ g(x)x^3-x6 \end{align*} f(x)g(x)x2−5x6x3−x6 这两个多项式在复平面上是否有相同的零点我们该如何知道它们是否有相同的根直接计算是不太可能的因为没有具体的公式去计算高次方程的零点。所以需要其他的方法比如将根看成是方程的因子。 f ( x ) g ( x ) x − α f ( x ) x − α g ( x ) f(x) \frac{g(x)}{x- \alpha } \frac{f(x)}{x- \alpha }g(x) f(x)x−αg(x)x−αf(x)g(x) 多项式 f , g {f,g} f,g 有相同的零点当且仅当存在不等于 0 {0} 0 的多项式 r , s {r,s} r,s 使得 f ( x ) r ( x ) s ( x ) g ( x ) f(x)r(x)s(x)g(x) f(x)r(x)s(x)g(x) deg r deg g , deg s deg f \deg r\deg g \,\,,\,\, \deg s \deg f degrdegg,degsdegf 仍以上面两个多项式为例 r {r} r 的次数最大为 2 {2} 2 设 r ( x ) f ( x ) ( a 2 x 2 a 1 x a 0 ) ( 1 x 2 − 5 x 6 ) a 2 ⋅ 1 x 4 a 2 ⋅ ( − 5 ) x 3 a 2 ⋅ 6 x 2 a 1 ⋅ 1 x 3 a 1 ⋅ ( − 5 ) x 2 a 1 ⋅ 6 x a 0 ⋅ 1 x 2 a 0 ⋅ ( − 5 ) x a 0 ⋅ 6 [ a 2 a 1 a 0 ] [ 1 − 5 6 0 0 0 1 − 5 6 0 0 0 1 − 5 6 ] [ x 4 x 3 x 2 x 1 x 0 ] \begin{align*} r(x)f(x)(a_2x^2a_1xa_0)(1x^2-5x6) \\ \\ a_2 \cdot 1x^4a_2 \cdot (-5)x^3a_2 \cdot 6x^2 \\ \\ a_1 \cdot 1x^3a_1 \cdot (-5)x^2a_1 \cdot 6x \\ \\ a_0 \cdot 1x^2a_0 \cdot (-5)xa_0 \cdot 6 \\ \\ [a_2 \,\,\, a_1 \,\,\, a_0] \begin{bmatrix} 1-5600\\01-560\\001-56 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x^4\\x^3\\x^2\\x^1\\x^0 \end{bmatrix} \end{align*} r(x)f(x)(a2x2a1xa0)(1x2−5x6)a2⋅1x4a2⋅(−5)x3a2⋅6x2a1⋅1x3a1⋅(−5)x2a1⋅6xa0⋅1x2a0⋅(−5)xa0⋅6[a2a1a0] 100−5106−5106−5006 x4x3x2x1x0 同理 s {s} s 的最大次数为 1 {1} 1 设 s ( x ) g ( x ) ( b 1 x b 0 ) ( 1 x 2 − 1 x 6 ) b 1 ⋅ 1 x 4 0 x 3 b 1 ⋅ ( − 1 ) x 2 b 1 ⋅ 6 x b 0 ⋅ 1 x 3 0 x 2 b 0 ⋅ ( − 1 ) x b 0 ⋅ 6 [ b 1 b 0 ] [ 1 0 − 1 6 0 0 1 0 − 1 6 ] [ x 4 x 3 x 2 x 1 x 0 ] \begin{align*} s(x)g(x)(b_1xb_0)(1x^2-1x6) \\ \\ b_1 \cdot 1x^4 0x^3 b_1 \cdot (-1)x^2b_1 \cdot 6x \\ \\ b_0 \cdot 1x^30x^2 b_0 \cdot (-1)x b_0 \cdot 6 \\ \\ [b_1 \,\,\, b_0] \begin{bmatrix} 10-160\\010-16 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x^4\\x^3\\x^2\\x^1\\x^0 \end{bmatrix} \end{align*} s(x)g(x)(b1xb0)(1x2−1x6)b1⋅1x40x3b1⋅(−1)x2b1⋅6xb0⋅1x30x2b0⋅(−1)xb0⋅6[b1b0][1001−106−106] x4x3x2x1x0 写到一起有 [ a 2 a 1 a 0 ∣ − b 1 − b 0 ] [ 1 − 5 6 0 0 0 1 − 5 6 0 0 0 1 − 5 6 1 0 − 1 6 0 0 1 0 − 1 6 ] [a_2 \,\,\, a_1 \,\,\, a_0 | \,\,\, -b_1 \,\,\, -b_0] \begin{bmatrix} 1-5600\\01-560\\001-56\\10-160\\010-16 \end{bmatrix} [a2a1a0∣−b1−b0] 10010−510016−51−1006−56−100606 实际上 r , s {r,s} r,s 就是 f , g {f,g} f,g 消去了相同零点因式后的多项式 a i , b i {a_i,b_i} ai,bi 就是消去了相同零点因式后的多项式的系数。
Sylvester矩阵 f ( x ) α m x m α m − 1 x m − 1 ⋯ α 0 g ( x ) β n x n β n − 1 x n − 1 ⋯ β 0 \begin{align*} f(x) \alpha_mx^m \alpha_{m-1}x^{m-1} \cdots \alpha_0 \\ \\ g(x) \beta_nx^n \beta_{n-1}x^{n-1} \cdots \beta_0 \end{align*} f(x)g(x)αmxmαm−1xm−1⋯α0βnxnβn−1xn−1⋯β0 西尔韦斯特矩阵为 S ( f , g , x ) [ α m α m − 1 ⋯ α 0 α m α m − 1 ⋯ α 0 ⋯ − − − − − − β n β n − 1 ⋯ β 0 β n β n − 1 ⋯ β 0 ⋯ ] ( m n ) × ( m n ) S(f,g,x) \begin{bmatrix} \alpha_m \alpha_{m-1} \cdots \alpha_0\\ \alpha_m \alpha_{m-1} \cdots \alpha_0\\ \cdots \\ ------\\ \beta_n \beta_{n-1} \cdots \beta_0\\ \beta_n \beta_{n-1} \cdots \beta_0\\ \cdots \end{bmatrix}_{(mn) \times (mn)} S(f,g,x) αm−βnαm−1αm−βn−1βn⋯αm−1⋯−⋯βn−1⋯α0⋯−β0⋯α0−β0− (mn)×(mn) 西尔韦斯特结式定义为西尔韦斯特矩阵的行列式记作 Res ( f , g , x ) : det ( S ( f , g , x ) ) \text{Res}(f,g,x):\det(S(f,g,x)) Res(f,g,x):det(S(f,g,x)) f , g {f,g} f,g 有相同的零点等价于 Res ( f , g , x ) 0 \text{Res}(f,g,x)0 Res(f,g,x)0
应用
在消元中的应用
设有参数方程 C {C} C x t 2 y t 2 ( t 1 ) \begin{align*} xt^2 \\ \\ y t^2(t1) \end{align*} xyt2t2(t1) ( x 0 , y 0 ) ∈ C ⟺ ∃ t 0 s . t . { x 0 t 0 2 y 0 t 0 2 ( t 0 1 ) (x_0,y_0)\in C \iff \exists t_0 \,\,\, s.t. \,\,\, \begin{cases} x_0t_0^2\\ y_0t_0^2(t_01) \end{cases} (x0,y0)∈C⟺∃t0s.t.{x0t02y0t02(t01) 方程组存在相同零点 ⟺ Res ( t 2 − x 0 , t 3 t 2 − y 0 , t ) 0 \iff \text{Res}(t^2-x_0,t^3t^2-y_0,t)0 ⟺Res(t2−x0,t3t2−y0,t)0 f ( t ) t 2 0 t − x g ( t ) t 3 t 2 0 t − y \begin{align*} f(t)t^20t-x \\ \\ g(t)t^3t^20t-y \end{align*} f(t)g(t)t20t−xt3t20t−y Res ( f , g , t ) det ( [ 1 0 − x 1 0 − x 1 0 − x 1 1 0 − y 1 1 0 − y ] ) − x 3 y 2 − 2 x y x 2 \begin{align*} \text{Res}(f,g,t) \det( \begin{bmatrix} 10-x \\ 10-x \\ 10-x\\ 110-y\\ 110-y \end{bmatrix}) \\ \\ -x^3y^2-2xyx^2 \end{align*} Res(f,g,t)det( 110111−x0101−x0−y0−x−y )−x3y2−2xyx2
传递函数的化简
设传递函数分子为 N ( s ) {N(s)} N(s) 分母为 D ( s ) {D(s)} D(s) 化简后的传递函数分子为 N ‾ ( s ) {\overline{ N}(s)} N(s) 分母为 D ‾ ( s ) { \overline{D} (s)} D(s) 。 N ( s ) α m s m α m − 1 s m − 1 ⋯ α 0 D ( s ) β n s n β n − 1 s n − 1 ⋯ β 0 \begin{align*} N(s) \alpha_ms^m \alpha_{m-1}s^{m-1} \cdots \alpha_0 \\ \\ D(s) \beta_ns^n \beta_{n-1}s^{n-1} \cdots \beta_0 \end{align*} N(s)D(s)αmsmαm−1sm−1⋯α0βnsnβn−1sn−1⋯β0 N ‾ ( s ) a k s k a k − 1 s k − 1 ⋯ a 0 D ‾ ( s ) b l s l b l − 1 s l − 1 ⋯ b 0 \begin{align*} \overline{N} (s) a_ks^k a_{k-1}s^{k-1} \cdots a_0 \\ \\ \overline{D}(s) b_ls^l b_{l-1}s^{l-1} \cdots b_0 \end{align*} N(s)D(s)akskak−1sk−1⋯a0blslbl−1sl−1⋯b0 由前面的分析可知 [ a k ⋯ a 0 ∣ b l ⋯ b 0 ] S ( N , D , s ) 0 [a_k \cdots a_0|b_l \cdots b_0]S(N,D,s)0 [ak⋯a0∣bl⋯b0]S(N,D,s)0 ∴ S ( N , D , s ) T [ a k ⋮ a 0 b l ⋮ b 0 ] 0 \therefore S(N,D,s)^ \mathrm T \begin{bmatrix} a_k \\ \vdots \\ a_0 \\ b_l \\ \vdots \\b_0 \end{bmatrix}0 ∴S(N,D,s)T ak⋮a0bl⋮b0 0 所以求西尔韦斯特矩阵转置矩阵的零空间就能得到简化传递函数的系数。 下链
