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动态规划 一、62.不同路径
深搜动态规划数论
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注意题目中说机器人每次只能向下或者向右移动一步#xff0c;那么其实机器人走过的路径可以抽象为一棵二叉树#xff0c;而叶子节点就是终点#… 文章目录 前言一、62.不同路径二、63.不同路径II总结 前言
动态规划 一、62.不同路径
深搜动态规划数论
深搜
注意题目中说机器人每次只能向下或者向右移动一步那么其实机器人走过的路径可以抽象为一棵二叉树而叶子节点就是终点
如图举例 此时问题就可以转化为求二叉树叶子节点的个数代码如下
class Solution {
private:int dfs(int i, int j, int m, int n) {if (i m || j n) return 0; // 越界了if (i m j n) return 1; // 找到一种方法相当于找到了叶子节点return dfs(i 1, j, m, n) dfs(i, j 1, m, n);}
public:int uniquePaths(int m, int n) {return dfs(1, 1, m, n);}
};这棵树的深度其实就是mn-1深度按从1开始计算。
那二叉树的节点个数就是 2^(m n - 1) - 1。可以理解深搜的算法就是遍历了整个满二叉树其实没有遍历整个满二叉树只是近似而已
所以上面深搜代码的时间复杂度为O(2^(m n - 1) - 1)可以看出这是指数级别的时间复杂度是非常大的。 动态规划
定dp数组dp table以及下标的含义
dp[i][j] 表示从0 0出发到(i, j) 有dp[i][j]条不同的路径。
确定递推公式
想要求dp[i][j]只能有两个方向来推导出来即dp[i - 1][j] 和 dp[i][j - 1]。
此时在回顾一下 dp[i - 1][j] 表示啥是从(0, 0)的位置到(i - 1, j)有几条路径dp[i][j - 1]同理。
那么很自然dp[i][j] dp[i - 1][j] dp[i][j - 1]因为dp[i][j]只有这两个方向过来。
dp数组的初始化
如何初始化呢首先dp[i][0]一定都是1因为从(0, 0)的位置到(i, 0)的路径只有一条那么dp[0][j]也同理。
所以初始化代码为
for (int i 0; i m; i) dp[i][0] 1;
for (int j 0; j n; j) dp[0][j] 1;确定遍历顺序
这里要看一下递推公式dp[i][j] dp[i - 1][j] dp[i][j - 1]dp[i][j]都是从其上方和左方推导而来那么从左到右一层一层遍历就可以了。
这样就可以保证推导dp[i][j]的时候dp[i - 1][j] 和 dp[i][j - 1]一定是有数值的。
举例推导dp数组
如图所示 代码
class Solution {public int uniquePaths(int m, int n) {int dp[][] new int[m][n];for(int i 0;im;i){dp[i][0] 1;}for(int j 0;jn;j){dp[0][j] 1;}for(int i 1;im;i){for(int j 1;jn;j){dp[i][j] dp[i-1][j] dp[i][j-1];}}return dp[m-1][n-1];}
} 数论
在这个图中可以看出一共mn的话无论怎么走走到终点都需要 m n - 2 步。 在这m n - 2 步中一定有 m - 1 步是要向下走的不用管什么时候向下走。
那么有几种走法呢 可以转化为给你m n - 2个不同的数随便取m - 1个数有几种取法。
那么这就是一个组合问题了。 求组合的时候要防止两个int相乘溢出 所以不能把算式的分子都算出来分母都算出来再做除法。
需要在计算分子的时候不断除以分母代码如下
class Solution {
public:int uniquePaths(int m, int n) {long long numerator 1; // 分子int denominator m - 1; // 分母int count m - 1;int t m n - 2;while (count--) {numerator * (t--);while (denominator ! 0 numerator % denominator 0) {numerator / denominator;denominator--;}}return numerator;}
};时间复杂度O(m)空间复杂度O(1)
计算组合问题的代码还是有难度的特别是处理溢出的情况 二、63.不同路径II
动规五部曲
确定dp数组dp table以及下标的含义
dp[i][j] 表示从0 0出发到(i, j) 有dp[i][j]条不同的路径。
确定递推公式
递推公式和62.不同路径一样dp[i][j] dp[i - 1][j] dp[i][j - 1]。
但这里需要注意一点因为有了障碍(i, j)如果就是障碍的话应该就保持初始状态初始状态为0。
所以代码为
if (obstacleGrid[i][j] 0) { // 当(i, j)没有障碍的时候再推导dp[i][j]dp[i][j] dp[i - 1][j] dp[i][j - 1];
}dp数组如何初始化
在62.不同路径
(opens new window)不同路径中我们给出如下的初始化
vectorvectorint dp(m, vectorint(n, 0)); // 初始值为0
for (int i 0; i m; i) dp[i][0] 1;
for (int j 0; j n; j) dp[0][j] 1;因为从(0, 0)的位置到(i, 0)的路径只有一条所以dp[i][0]一定为1dp[0][j]也同理。
但如果(i, 0) 这条边有了障碍之后障碍之后包括障碍都是走不到的位置了所以障碍之后的dp[i][0]应该还是初始值0。
如图 下标(0, j)的初始化情况同理。
所以本题初始化代码为
vectorvectorint dp(m, vectorint(n, 0));
for (int i 0; i m obstacleGrid[i][0] 0; i) dp[i][0] 1;
for (int j 0; j n obstacleGrid[0][j] 0; j) dp[0][j] 1;注意代码里for循环的终止条件一旦遇到obstacleGrid[i][0] 1的情况就停止dp[i][0]的赋值1的操作dp[0][j]同理
确定遍历顺序
从递归公式dp[i][j] dp[i - 1][j] dp[i][j - 1] 中可以看出一定是从左到右一层一层遍历这样保证推导dp[i][j]的时候dp[i - 1][j] 和 dp[i][j - 1]一定是有数值。
代码如下
for (int i 1; i m; i) {for (int j 1; j n; j) {if (obstacleGrid[i][j] 1) continue;dp[i][j] dp[i - 1][j] dp[i][j - 1];}
}举例推导dp数组
拿示例1来举例如题 对应的dp table 如图 class Solution {public int uniquePathsWithObstacles(int[][] obstacleGrid) {int m obstacleGrid.length;int n obstacleGrid[0].length;int dp[][] new int[m][n];if(obstacleGrid[0][0] 1 || obstacleGrid[m-1][n-1] 1){return 0;}for(int i 0;im obstacleGrid[i][0] 0;i){dp[i][0] 1;}for(int i 0;in obstacleGrid[0][i] 0;i){dp[0][i] 1;}for(int i 1;im;i){for(int j 1;jn;j){if(obstacleGrid[i][j] 0){dp[i][j] dp[i-1][j] dp[i][j-1];}else{dp[i][j] 0;}}}return dp[m-1][n-1];}
}总结
今天去看《奥本海默》。
