做网彩网站,软文代写是什么,深圳商城网站,网站开发维护费计入什么科目nbspnbspnbspnbspnbspnbspnbsp预备知识 球坐标系中的定态薛定谔方程#xff0c;原子单位制本文使用原子单位制#xff0e;类氢原子(hydrogen-like atom)被定义为原子核有 $Z$ 个质子(核电荷为 $Ze$)有一个核外电子的原子/离子#xff0…nbspnbspnbspnbspnbspnbspnbsp预备知识 球坐标系中的定态薛定谔方程原子单位制本文使用原子单位制类氢原子(hydrogen-like atom)被定义为原子核有 $Z$ 个质子(核电荷为 $Ze$)有一个核外电子的原子/离子例如氢原子和失去一个电子的氦原子 $\mathrm{He}^$失去两个电子的锂离子 $\mathrm{Li}^{}$类氢原子的定态薛定谔方程为\begin{equation}-\frac{1}{2m} \boldsymbol{\nabla}^2 \psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) - \frac{Z}{r} \psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) E \psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} )\end{equation}类氢原子是唯一存在解析解的原子(离子)我们这里只讨论束缚态即 $E 0$ 的解 从数学上$E$ 取小于零的任意值时我们都能找到解但只有当 $E$ 取特定离散值的时候这些波函数才能归一化(否则没有物理意义)由于类氢原子具有球对称性球坐标下的波函数具有最简单的形式波函数的表达式为\begin{equation}\psi_{nlm} (r,\theta ,\phi) R_{nl}(r) Y_{l,m}(\theta, \phi)\end{equation}其中 $n$ 是主量子数($n 1, 2, \dots$)$l$ 是角量子数($l 0, 1, \dots, n - 1$)$m$ 是磁量子数($m -l, -l1, \dots, l$)$R_{nl}(r)$ 是归一化的径向波函数$Y_{l,m}(\theta, \phi)$ 是归一化的球谐函数(见 “球谐函数列表”)图 1氢原子波函数的概率密度 $ \left\lvert \psi_{nlm}( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \right\rvert ^2$ 的 $x$-$z$ 截面大小成比例每个图中的三个数字分别是量子数 $n, l, m$电子出现在白色圆圈内部的概率为 0.95色条对应的数值是线性的每个子图中的色条取值范围不相同另见 Matlab 画图程序径向波函数 $R_{nl}(r)$如果忽略原子核的运动以下的 $a$ 是玻尔半径(原子单位中 $a1$)如果不忽略$a$ 就是约化玻尔半径注意 $Z$ 和 $a$ 的作用是把径向波函数关于原点收缩 $Z/a$ 倍(并保持波函数归一化)\begin{equation}R_{nl}(r) \sqrt{ \left(\frac{2 Z}{na} \right) ^3 \frac{(n - l - 1)!}{2n (n l)!}} \left(\frac{2Zr}{na} \right) ^l L_{n-l-1}^{2l1} \left(\frac{2Zr}{na} \right) \mathrm{e} ^{-Zr/(na)}\end{equation}其中 $L_n^l(x)$ 是连带拉盖尔多项式(associated Laguerre polynomial)$Z 1$ 时 $r R_{n,l}(r)$ 的函数图图 2图 2径向波函数函数图(使用原子单位$a 1$)以下给出前几个径向波函数注意所有径向波函数的值都是实数\begin{equation} n 1 \qquadR_{10}(r) 2 \left(\frac{Z}{a} \right) ^{3/2} \exp\left(-Zr/a\right)\end{equation}\begin{equation}n 2 \qquad\left\{\begin{aligned}R_{20}(r) \frac{1}{\sqrt 2} \left(\frac{Z}{a} \right) ^{3/2} \left(1 - \frac12 \frac{Zr}{a} \right) \exp\left(-\frac{Zr}{2a}\right) \\R_{21}(r) \frac{1}{2\sqrt{6}} \left(\frac{Z}{a} \right) ^{3/2} \frac{Zr}{a} \exp\left(-\frac{Zr}{2a}\right)\end{aligned}\right. \end{equation}\begin{equation}n 3 \qquad\left\{\begin{aligned}R_{30}(r) \frac{2}{3\sqrt {3}} \left(\frac{Z}{a} \right) ^{3/2} \left(1 - \frac23 \frac{Zr}{a} \frac{2}{27} \frac{Z^2r^2}{a^2} \right) \exp\left(-\frac{Zr}{3a}\right) \\R_{31}(r) \frac{8}{27\sqrt 6} \left(\frac{Z}{a} \right) ^{3/2} \left(1 - \frac16 \frac {Zr}{a} \right) \frac {Zr}{a} \exp\left(-\frac{Zr}{3a}\right) \\R_{32}(r) \frac{4}{81\sqrt {30}} \left(\frac{Z}{a} \right) ^{3/2} \frac{Z^2r^2}{a^2} \exp\left(-\frac{Zr}{3a}\right) \end{aligned}\right.\end{equation}更多 $R_{n,l}$ 可以用 Mathematica 或者 Wolfram Alpha 生成命令如性质我们要求氢原子每个束缚态满足归一化条件\begin{equation}\int \left\lvert \Psi_{n,l,m}( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \right\rvert \,\mathrm{d}^{3}{r} \int \int_0^\infty \left\lvert R_{n,l}(r) Y_{l,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \right\rvert ^2 r^2 \,\mathrm{d}{r} \,\mathrm{d}{\Omega} 1\end{equation}先做角向积分球谐函数已经满足归一化条件\begin{equation}\int \left\lvert Y_{l,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \right\rvert ^2 \,\mathrm{d}{\Omega} 1\end{equation}得到径向波函数的归一化条件为\begin{equation}\int [rR_{n,l}(r)]^2 \,\mathrm{d}{r} 1\end{equation}再来看正交性我们知道哈密顿算符的本征态之间两两正交(式中 $n,l,m$ 至少有一个与 $n, l, m$ 不同)\begin{equation}\int \Psi_{n,l,m}^*( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \Psi_{n,l,m}( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \,\mathrm{d}^{3}{r} \int \int_0^\infty R_{n,l}(r) R_{n,l}(r) Y_{l,m}^*( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) Y_{l,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) r^2 \,\mathrm{d}{r} \,\mathrm{d}{\Omega} 0\end{equation}同样可以先对角向做积分若 $l,m$ 至少有一个与 $l, m$ 不同那么积分直接为零径向波函数不需要任何正交条件(也的确不满足)但若两个球谐函数相同即 $l l$$m m$$n \ne n$那么角向积分等于 1径向波函数满足\begin{equation}\int \int_0^\infty R_{n,l}(r) R_{n,l}(r) r^2 \,\mathrm{d}{r} 0\end{equation}径向概率分布我们来求径向概率分布 $P(r)$$P(r)$ 的定义为发现粒子在 $r \in [a, b]$(厚球壳)内的概率为 $\int_a^b P(r) \,\mathrm{d}{r} $由于波函数的模长平方就是三维的概率密度有\begin{equation}\int_a^b P(r) \,\mathrm{d}{r} \int_a^b \int \left\lvert \frac1r \psi_{l,m}(r) Y_{l,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \right\rvert ^2 \,\mathrm{d}{\Omega} r^2 \,\mathrm{d}{r} \int_a^b \left\lvert \psi_{l,m}(r) \right\rvert ^2 \,\mathrm{d}{r}\end{equation}对任意 $a, b 0$ 都成立所以有\begin{equation}P(r) \left\lvert \psi_{l,m}(r) \right\rvert ^2\end{equation}任意波函数可以表示为所有本征波函数的叠加\begin{equation}\Psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \frac1r \sum_{l,m} \psi_{l,m}(r) Y_{l,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} )\end{equation}其径向概率分布为\begin{equation}\int_a^b P(r) \,\mathrm{d}{r} \int_a^b \int \left\lvert \frac1r \sum_{l,m}\psi_{l,m}(r) Y_{l,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \right\rvert ^2 \,\mathrm{d}{\Omega} r^2 \,\mathrm{d}{r} \sum_{l,m} \int_a^b \left\lvert \psi_{l,m}(r) \right\rvert ^2 \,\mathrm{d}{r}\end{equation}对任意 $a, b 0$ 都成立所以有\begin{equation}P(r) \sum_{l,m} \left\lvert \psi_{l,m}(r) \right\rvert ^2\end{equation}动量表象 动量分布要求动量表象下的波函数我们需要将位置表象的波函数投影到归一化的动量的本征矢上即三维傅里叶变换\begin{equation}\psi_{nlm}( \boldsymbol{\mathbf{p}} ) \left\langle \boldsymbol{\mathbf{p}} \middle| \psi \right\rangle \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int \exp\left(- \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{p}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} \right) \psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \,\mathrm{d}^{3}{r}\end{equation}这个积分在球坐标中完成才是最方便的具体方法我们将举例子说明(见例 1)正如位置表象下位置的分布函数是 $ \left\lvert \psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \right\rvert ^2$动量表象下动量的分布函数是 $ \left\lvert \psi( \boldsymbol{\mathbf{p}} ) \right\rvert ^2$(也符合测量理论)1. ^ 我们以后会看到 $r R_{l,m}(r)$ 比 $R_{l,m}(r)$ 更常用致读者 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择会员制大量广告内容付费等。 因此我们请求广大读者热心打赏使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元我们一个星期内就能脱离亏损 并保证网站能在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识 我们在此表示感谢。
