单位不能建设网站,seo关键词排名优化是什么,赣榆建设局网站,土木工程公司排名1 两因素方差分析的形式多因素方差分析针对的是多因素完全随机设计。包含两个及以上的自变量#xff0c;为便于讲解#xff0c;本文以两因素方差分析为例。在一个两因素完全随机设计中#xff0c;自变量包含#xff0c;共个水平。自变量包含#xff0c;共个水平。总共形成…1 两因素方差分析的形式多因素方差分析针对的是多因素完全随机设计。包含两个及以上的自变量为便于讲解本文以两因素方差分析为例。在一个两因素完全随机设计中自变量包含共个水平。自变量包含共个水平。总共形成个处理。各处理之下有个观测值。特别的当各处理的观测值都为时称为等组设计。等组设计的具体形式如下若各组观测值数量不同称为非等组设计形式如下其中各不相同两因素方差分析的逻辑是对变异进行比较。通过对平方和(Sum of Squares)和自由度(Degree of Freedom)的分解利用公式计算出各主效应方差交互作用方差和组内方差即误差方差。各主效应和交互作用的方差与误差方差的差异比值体现了该效应的显著性。而且在零假设为真的情况下该比值服从F分布进而分别完成各效应的假设检验。具体的分解如下图常规的流程大家都非常熟悉不再赘述。接下来换个角度从多元线性回归来看一看两因素方差分析。2 两因素方差分析的线性模型模型的基本形式两因素方差分析的线性模型可以表示为其中指A因素第个水平的效应指因素第个水平的效应指A因素第个水平与B因素第个水平的交互作用效应表示处理中第个观测值的随机误差。该式说明某个观测值等于其所在处理的各主效应和交互作用效果叠加并附加上一个随机误差组成。通常我们让:其中表示各平均效应。上述式子意味着以各因素的平均效应为基准用相对的效应值来表示各水平的效应。可见就是是相对效应量是各效应偏离平均效应的程度即离均差。易知2.2.4和2.2.5式需要稍微推导一下有兴趣的同学可以自己动手试试没兴趣忽略就好据此可将2.1式写为其中:是观测值是总平均相当于是截距是随机误差且独立同分布模型表达的意思是每一个观测值实际上都是在某个总平均上附加了一个因素水平的效果一个因素水平的效果因素和因素在各自水平上的交互作用并且还受到了随机误差的影响。例如如果某被试接受的是自变量的处理那么他的观测值就是是指该处理中观测值的编号引入虚拟变量为了便于理解我们可以引入虚拟变量令意味着在处理中,其余虚拟变量均为0。例如对第处理中,其余均为0可以发现当把虚拟变量带入2.3式之后得到2.4式可看成是一个包含个自变量的多元线性回归模型。此时的取值为此时的取值为是不是眼花缭乱哈哈。如果从矩阵的角度来看此时的形成的矩阵就是一个的单位矩阵只有对角线元素为1。而且注意到的取值都可以由组合得到。即的每一列都可以是列向量的线性组合。也就是自变量之间存在多重共线性此时有效的自变量数量仅仅只有的个。这就出问题了因为我们需要估计的参数一共有个别担心我们还有2.2.2-2.2.5这几个式子利用这几个式子将上述取值改为又要眼花缭乱了此时利用2.2.1和2.2.2式将和中各去掉了一个自变量表中去掉的是各自的最后一项因为所以当时将都取为就可以了。实际上去掉任何一项都可以不影响最终结果。同理可将交互作用的虚拟变量改为注意到对角线的子矩阵以及最后一行的各矩阵。特别是最后一行时的取值用心的小伙伴简单推导就可以得到这里就不再啰嗦了。3 对单因素方差分析的线性模型进行多元回归提示该部分直接用公式推导实在太麻烦了所以用一个数据例子来进行说明。以一个3×2的两因素完全随机设计为例其中A因素个水平B因素两个水平每个处理之下一共4个观测值。将观测值和虚拟变量都列出来为。为了偷懒除了第一个处理的四个观测值都列出来之外其余的每个处理只列出一个。接下来利用python的statemodels进行计算from statsmodels.formula.api import ols #拟合线性模型的包
from statsmodels.stats.anova import anova_lm#进行方差分析的包
import pandas as pd
import numpy as np
data{XA1: [1,1,1,1, 1, 1, 1, 1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1],XA2: [0,0,0,0, 0, 0, 0, 0,1,1,1,1,1,1,1,1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1],XB1: [1,1,1,1,-1,-1,-1,-1,1,1,1,1,-1,-1,-1,-1,1,1,1,1,-1,-1,-1,-1],XAB11:[1,1,1,1,-1,-1,-1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,-1,-1,-1,-1,1,1,1,1],XAB21:[0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,1,1,1,1],Y:[5,3,4,2,6,3,5,5,7,6,7,8,8,7,8,5,9,7,5,7,10,12,11,7],A:[1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3],B:[1,1,1,1,2,2,2,2,1,1,1,1,2,2,2,2,1,1,1,1,2,2,2,2]
}#其中前5行是虚拟变量Y是观测值A,B是分类变量
dfpd.DataFrame(data)
model_linols(Y~XA1XA2XB1XAB11XAB21,datadf).fit()#用虚拟变量进行回归
model_anovaols(Y~C(A)*C(B),datadf).fit()#用分类变量进行方差分析
anova_Resultanova_lm(model_anova)print(anova_Result)df sum_sq mean_sq F PR(F)
C(A) 2.0 79.083333 39.541667 17.905660 0.000052
C(B) 1.0 12.041667 12.041667 5.452830 0.031315
C(A):C(B) 2.0 9.083333 4.541667 2.056604 0.156887
Residual 18.0 39.750000 2.208333 NaN NaN
#利用方差分析结果计算决定系数组间平方和主效应与交互作用之和/总平方和
R_squarenp.sum(anova_Result.sum_sq[0:3])/np.sum(anova_Result.sum_sq)
print(R_square)0.7159869008633524
#打印回归分析结果
print(model_lin.summary())OLS Regression Results Dep. Variable: Y R-squared: 0.716
Model: OLS Adj. R-squared: 0.637
Method: Least Squares F-statistic: 9.075
Date: Sat, 11 Apr 2020 Prob (F-statistic): 0.000191
Time: 18:02:59 Log-Likelihood: -40.109
No. Observations: 24 AIC: 92.22
Df Residuals: 18 BIC: 99.29
Df Model: 5
Covariance Type: nonrobust
coef std err t P|t| [0.025 0.975]
------------------------------------------------------------------------------
Intercept 6.5417 0.303 21.566 0.000 5.904 7.179
XA1 -2.4167 0.429 -5.633 0.000 -3.318 -1.515
XA2 0.4583 0.429 1.068 0.299 -0.443 1.360
XB1 -0.7083 0.303 -2.335 0.031 -1.346 -0.071
XAB11 0.0833 0.429 0.194 0.848 -0.818 0.985
XAB21 0.7083 0.429 1.651 0.116 -0.193 1.610Omnibus: 1.556 Durbin-Watson: 2.330
Prob(Omnibus): 0.459 Jarque-Bera (JB): 1.295
Skew: -0.535 Prob(JB): 0.523
Kurtosis: 2.614 Cond. No. 1.73
Warnings:
[1] Standard Errors assume that the covariance matrix of the errors is correctly specified.
#利用回归模型输出各预测值
model_lin.predict()array([ 3.5 , 3.5 , 3.5 , 3.5 , 4.75, 4.75, 4.75, 4.75, 7. ,7. , 7. , 7. , 7. , 7. , 7. , 7. , 7. , 7. ,7. , 7. , 10. , 10. , 10. , 10. ])
#利用回归模型输出参数估计值
model_lin.paramsIntercept 6.541667
XA1 -2.416667
XA2 0.458333
XB1 -0.708333
XAB11 0.083333
XAB21 0.708333
dtype: float64
#输出原始观测值的总均值
np.mean(df[Y])6.541666666666667可见用常规的方差分析计算出来的结果与回归分析一致决定系数是相同的。此外回归模型告诉我们各处理的预测值就是该处理的组均值模型的截距总平均就是所有观测值的平均值。实际上决定系数就是回归平方和除以总平方和。而回归平方和等于观测值与预测值的平方和对应的就是方差分析组间平方和不过多因素方差分析中组间平方和等于所有主效应与交互作用平方和之和。回归总平方和就是观测值与总平均的平方和此处与方差分析的总平方和一致。绕了这么半天似乎说了好多废话。有同学可能会嫌弃认为我把简单的事情搞复杂了。确实这样理解很复杂但是只有这样理解了我们才能搞清楚什么是Ⅰ型平方和以及Ⅲ型平方和。这两种平方和专门针对多因素方差分析在等组设计中二者没有区别但是非等组设计中二者区别就大了反正我最终是通过回归才搞清楚。关于Ⅰ型平方和以及Ⅲ型平方和我会专门写一篇文章来介绍。4 结论多元回归的结果与方差分析的结果是一致的将多因素方差分析转换为回归分析时要注意虚拟变量的取值特别是交互作用的虚拟变量。通过回归来理解方差分析有助于我们理解Ⅰ型平方和以及Ⅲ型平方和另开文章介绍欢迎非商业转载只需注明作者“AhaDad”和来源即可
