免费推广网站下载,3网站建设公司,网站做接口,网站备案的好处主成分分析是指在尽量减少失真的前提下#xff0c;将高维数据压缩成低微的方式。
减少失真是指最大化压缩后数据的方差。
记 P P P矩阵为 n m n\times m nm#xff08; n n n行 m m m列#xff09;的矩阵#xff0c;表示一共有 m m m组数据#xff0c;每组数据有 n n n…主成分分析是指在尽量减少失真的前提下将高维数据压缩成低微的方式。
减少失真是指最大化压缩后数据的方差。
记 P P P矩阵为 n × m n\times m n×m n n n行 m m m列的矩阵表示一共有 m m m组数据每组数据有 n n n个维度。
欲将此数据集降为 k k k维即求 k × m k\times m k×m的矩阵 A A A。
思路是获得一种针对 n n n维的变换方法将 n n n位列向量转为 k k k位列向量。然后对全部 m m m组数据分别应用此变换这样就得到答案。
变换方法是使用形如 A X P AXP AXP的算式。问题变为求 k × n k\times n k×n矩阵 X X X。
引入协方差的概念。
协方差是刻画两个列向量 X { x 1 , x 2 , … , x n } T , Y { y 1 , y 2 , … , y n } T X\{x_1,x_2,\dots,x_n\}^\text{T},Y\{y_1,y_2,\dots,y_n\}^\text{T} X{x1,x2,…,xn}T,Y{y1,y2,…,yn}T的相异程度。对于同一行来说两个列向量在此行的数值相差越大就会使协方差越大。 C o v ( X , Y ) ∑ i 1 n ( x i − x ^ ) ( y i − y ^ ) Cov(X,Y)\sum_{i1}^{n}{(x_i-\hat{x})(y_i-\hat{y})} Cov(X,Y)i1∑n(xi−x^)(yi−y^)
接下来的部分需要线性代数理论进行推导在此只给出结论。
对于数据集的 n n n个维度来说方差越大说明数据之间的差异越大说明越能区分不同数据说明此维度越重要越应该被保留。可以用协方差刻画差异。
本例中将关于 n n n维的所有协方差写成一个 n n n阶方阵 Q Q Q其中 Q i , j Q_{i,j} Qi,j表示 C o v ( P i , P j ) Cov(P_i,P_j) Cov(Pi,Pj) P i P_i Pi表示 P P P的第 i i i行也就是所有数据的第 i i i个维度。
至此便直接给出计算方法。
计算 Q Q Q求 Q Q Q的 n n n个特征值及其对应的特征行向量将它们按照特征值从大到小的顺序排列组成新的方阵 R R R取 R R R的前 k k k行即 k × n k\times n k×n的矩阵 X X X A X P AXP AXP。
