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[NOIP2006 提高组] 金明的预算方案
题目描述
金明今天很开心#xff0c;家里购置的新房就要领钥匙了#xff0c;新房里有一间金明自己专用的很宽敞的房间。更让他高兴的是#xff0c;妈妈昨天对他说#xff1a;“你的房间需要购买哪些物品#xff0c;怎么布置…题目链接
[NOIP2006 提高组] 金明的预算方案
题目描述
金明今天很开心家里购置的新房就要领钥匙了新房里有一间金明自己专用的很宽敞的房间。更让他高兴的是妈妈昨天对他说“你的房间需要购买哪些物品怎么布置你说了算只要不超过 n n n 元钱就行”。今天一早金明就开始做预算了他把想买的物品分为两类主件与附件附件是从属于某个主件的下表就是一些主件与附件的例子
主件附件电脑打印机扫描仪书柜图书书桌台灯文具工作椅无
如果要买归类为附件的物品必须先买该附件所属的主件。每个主件可以有 0 0 0 个、 1 1 1 个或 2 2 2 个附件。每个附件对应一个主件附件不再有从属于自己的附件。金明想买的东西很多肯定会超过妈妈限定的 n n n 元。于是他把每件物品规定了一个重要度分为 5 5 5 等用整数 1 ∼ 5 1 \sim 5 1∼5 表示第 5 5 5 等最重要。他还从因特网上查到了每件物品的价格都是 10 10 10 元的整数倍。他希望在不超过 n n n 元的前提下使每件物品的价格与重要度的乘积的总和最大。
设第 j j j 件物品的价格为 v j v_j vj重要度为 w j w_j wj共选中了 k k k 件物品编号依次为 j 1 , j 2 , … , j k j_1,j_2,\dots,j_k j1,j2,…,jk则所求的总和为 v j 1 × w j 1 v j 2 × w j 2 ⋯ v j k × w j k v_{j_1} \times w_{j_1}v_{j_2} \times w_{j_2} \dots v_{j_k} \times w_{j_k} vj1×wj1vj2×wj2⋯vjk×wjk。
请你帮助金明设计一个满足要求的购物单。
输入格式
第一行有两个整数分别表示总钱数 n n n 和希望购买的物品个数 m m m。
第 2 2 2 到第 ( m 1 ) (m 1) (m1) 行每行三个整数第 ( i 1 ) (i 1) (i1) 行的整数 v i v_i vi p i p_i pi q i q_i qi 分别表示第 i i i 件物品的价格、重要度以及它对应的的主件。如果 q i 0 q_i0 qi0表示该物品本身是主件。
输出格式
输出一行一个整数表示答案。
样例 #1
样例输入 #1
1000 5
800 2 0
400 5 1
300 5 1
400 3 0
500 2 0样例输出 #1
2200提示
数据规模与约定
对于全部的测试点保证 1 ≤ n ≤ 3.2 × 1 0 4 1 \leq n \leq 3.2 \times 10^4 1≤n≤3.2×104 1 ≤ m ≤ 60 1 \leq m \leq 60 1≤m≤60 0 ≤ v i ≤ 1 0 4 0 \leq v_i \leq 10^4 0≤vi≤104 1 ≤ p i ≤ 5 1 \leq p_i \leq 5 1≤pi≤5 0 ≤ q i ≤ m 0 \leq q_i \leq m 0≤qi≤m答案不超过 2 × 1 0 5 2 \times 10^5 2×105。
算法思想
根据题目描述
想买的物品分为主件与附件如果要买归类为附件的物品必须先买该附件所属的主件每个主件可以有 0 0 0 个、 1 1 1 个或 2 2 2 个附件
由于附件数量很小可以将主件和附件组合在一起变成分组背包问题例如附件数量为 2 2 2时那么一个分组中有4种组合
主件 a i a_i ai不选择附件主件 a i a_i ai选择附件 b i 1 b_{i1} bi1主件 a i a_i ai选择附件 b i 2 b_{i2} bi2主件 a i a_i ai选择附件 b i 1 b_{i1} bi1和 b i 2 b_{i2} bi2
根据以上分析可以使用分组背包的思想解决可以参考博主的另一篇文章——每周一算法背包问题四分组背包。
时间复杂度
状态数为 n × m n\times m n×m在状态计算中主件最多有 2 2 2个附件因此每个分组最多有 4 4 4个组合
总的时间复杂度为 O ( n × m × 4 ) 3.2 × 1 0 4 × 60 × 4 7 , 680 , 000 O(n\times m\times 4)3.2 \times 10^4\times60\times47,680,000 O(n×m×4)3.2×104×60×47,680,000
代码实现
#include iostream
#include vector
using namespace std;
typedef pairint, int PII;
const int N 60, M 32000;
PII a[N]; //主件价格和重要度
vectorPII b[N]; //附件
int f[M];
int main()
{int n, m;cin m n;for(int i 1; i n; i ){int v, p, q;cin v p q;if(q 0) //主件{a[i].first v, a[i].second v * p;}else //住件q的附件b[q].push_back({v, v * p});}//分组背包for(int i 1; i n; i ){//背包空间优化for(int j m; j 0; j --){int len b[i].size(); //第i个主件中附件的数量//二进制枚举主件和附件的组合00,01,10,11for(int k 0; k (1 len); k ){int v a[i].first, w a[i].second; //主件的体积和价值for(int t 0; t len; t ) //枚举附件{if(k t 1) //如果选择第t个附件{v b[i][t].first;w b[i][t].second;}}if(j v) f[j] max(f[j], f[j - v] w);}}}cout f[m];return 0;
}
