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1、傅里叶变换#xff08;Fourier Transform#xff09;
白光可以分解成彩色光#xff0c;彩色光也可合成白光#xff1b;同样的通过傅里叶变换可将时域下的信号转变成傅里叶域的信号#xff0c;通过傅里叶逆变换可转换回来。此外CT解析重建 - 知乎
1、傅里叶变换Fourier Transform
白光可以分解成彩色光彩色光也可合成白光同样的通过傅里叶变换可将时域下的信号转变成傅里叶域的信号通过傅里叶逆变换可转换回来。此外很多问题在傅里叶域讨论会有一片新的天地。 上面一行的图是傅里叶域表示中心是低频部分越往外表示频率越高大部分能量都聚集在低频部分(b)表示将低频部分置0相当于高通滤波保留图像的边缘等像素变化大的部分(c)表示只保留低频成分低通滤波图像模糊。
傅里叶变换举例
2、中心切片定理 简单来说就是
证明过程 3、一些重建方法
方法1FBP
1求投影数据 p(s, θ) 的以 s 为变量的一维傅里叶变换得到P(ω,θ ) 。
2对 P(ω,θ ) 乘以斜坡滤波器的传递函数 |ω|得到 Q(ω, θ)。
3求 Q(ω, θ) 的以ω 为变量的一维傅里叶反变换得到 q(s, θ)。
4反投影得到重建图像f(x,y)。
方法2根据傅里叶变换理论在 ω 域中做乘法等价于在 s 域中做卷积
1q(s,θ ) p(s,θ ) ∗ h(s)h(s) 是卷积积分中的卷积核是H(ω)|ω|的一维傅里叶反变换
2反投影得到重建图像f(x,y)。
方法3傅里叶变换的两个性质:
性质 1在傅里叶域 (即ω 域) 中乘以 i2πω 相当于在空间域 (即 s 域) 中求导数。
性质 2函数 -i sgn(ω) 的傅里叶反变换是 1/(πs)。与 1/(πs) 做卷积叫做希尔伯特变换。 然后再反投影。
方法4改变斜坡滤波和反投影的次序先反投影后滤波。
1对 反 投 影 得 到 的 图 像 b(x, y) 求 二 维傅里叶变换得到B(ω x ,ω y ) 。
2对 B(ω x ,ω y ) 乘以斜坡滤波器的传递函数 |ω| ωx2 ω y2 得到F(ω x ,ω y ) 。
3对 F(ω x ,ω y ) 求二维傅里叶反变换得到 f (x, y) 。
方法5求导希尔伯特变换和反投影可换序
1对投影数据 p(s,θ ) 以变量s求导(实际上是求偏导)得到dp(s,θ ) / ds 。
2对 dp(s,θ ) / ds 做 180° 的反投影。
3对反投影得到的图像逐行的做(一维的)希尔伯特变换。其方向是与探测器在 90º 角的位置相平行。
希尔伯特变换可以在空间域中做卷积来实现也可以在傅里叶域中做乘法来实现。除此以外希尔伯特变换还可以在空间域中做积分来实现这个积分并非卷积而是在有限区间上的积分。这个有限积分的希尔伯特变换在处理不完整的(即截断的)投影数据时有着重要的应用。 4、卷积核
参考毛小渊. 二维CT图像重建算法研究[D].南昌航空大学,2016.
上面介绍的滤波器H(w)|w|是一个频带无限地滤波器无法实现所以考虑其替代。在实践滤波过程中可以把一个信号的绝大部分用有用频率予以保留丢弃无关紧要的频率在实际的卷积过程中投影数据的傅立叶变换是有限带宽的。也就是说在频率间隔(B,B)以外的能量0。可得 根据奈奎斯特采样定理为了保证无混叠的采样采样间隔必须不大于最高截止频率 2 倍的倒数也就是 。
1R-L滤波器 R-L 滤波器的频域波形如图所示其中截止频率 d1。它在频域中的图像类似于斜坡故也称为斜坡滤波器。R-L 滤波器形式简单实用用它重建图像轮廓清楚。缺点是有 Gibbs 现象表现为明显的振荡响应。
2S-L滤波器 3Cosine滤波器
窗函数 4Hanning 滤波器与 Hamming 滤波器
广义Hanning窗口
α为参数[0.5,1),当α0.54时为 Hamming 窗函数 5、扇束 6、锥束
