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从性线变换我们得出#xff0c;矩阵和函数是密不可分的。如何用函数的思维来分析矩阵。
矩阵的序列 通过这个定义我们就定义了矩阵序列的收敛性。 研究矩阵序列收敛性的常用方法#xff0c;是用《常见向量范数和矩阵范数》来研究矩阵序列的极限。 长度是范数的一个特…前言
从性线变换我们得出矩阵和函数是密不可分的。如何用函数的思维来分析矩阵。
矩阵的序列 通过这个定义我们就定义了矩阵序列的收敛性。 研究矩阵序列收敛性的常用方法是用《常见向量范数和矩阵范数》来研究矩阵序列的极限。 长度是范数的一个特例。事实上Frobenius范数对应的就是长度。我们在线性空间中定义内积时就是把这三条性质作为公理来定义内积的 收敛矩阵
在矩阵序列中最常见的是由一个方阵的幂构成的序列关于这样的矩阵序列有如下概念和收敛定理 r(A)是谱半径是一个矩阵的特征值绝对值中的最大值用于描述矩阵的特征值的尺度大小。
矩阵级数 矩阵幂级数 根据幂级数收敛半径定理求出收敛半径r根据《常见向量范数和矩阵范数》将矩阵A量化看否在收敛区间中 即 a k k r lim k → ∞ a k 1 a k k 1 k 1 a_k k r \lim\limits_{k \to \infty} \dfrac{a_{k1}}{a_k}\dfrac{{k1}}{k} 1 akkrk→∞limakak1kk11由范式2得到 p ( A ) 5 6 p(A)\dfrac{5}{6} p(A)65
Neumann级数 注1假设E-A不可逆那么E-A有0特征值A的特征值为1。而A的谱半径小于1矛盾故E-A可逆注2A的谱半径小于1由定理3可知A为收敛矩阵。那么 A k 1 A^{k1} Ak1 就趋近于0k趋于无穷 矩阵函数 矩阵函数的计算
常用的有以下几种方法
待定系数法
求矩阵A的特征多项式 ∣ λ I − A ∣ |\lambda I - A| ∣λI−A∣利用Hamilton-Cayley定理求出A的一次性化零多项式 ψ ( A ) 0 \psi(A)0 ψ(A)0 - 求解 f ( A ) f(A) f(A)多项式当 A λ 即 ψ ( A ) f ( A ) A\lambda 即\psi(A)f(A) Aλ即ψ(A)f(A) sin的导注是cos e x e^x ex的导数是它本身的导数,因此 e ( 2 t ) 的导数是 2 e ( 2 t ) e^(2t) 的导数是 2e^(2t) e(2t)的导数是2e(2t)。 利用相似对角化
利用Jordan标准形
主要参考
《常见向量范数和矩阵范数》 《矩阵分析》 《7.2.3幂级数收敛半径定理》 《矩阵序列与矩阵级数》 《矩阵函数的常见求法》
