自动化营销网站建设,电子产品东莞网站建设,上海电信网站备案,excel做网站这份是本人的学习笔记#xff0c;课程为网易公开课上的斯坦福大学公开课#xff1a;傅里叶变换及其应用。 卷积在滤波中的应用 浑浊度#xff08;Turbidity#xff09;研究是关于测量水的清澈度的研究。大致方法是把光传感器放置到深水区域#xff0c;然后测量光线的昏暗程…这份是本人的学习笔记课程为网易公开课上的斯坦福大学公开课傅里叶变换及其应用。 卷积在滤波中的应用 浑浊度Turbidity研究是关于测量水的清澈度的研究。大致方法是把光传感器放置到深水区域然后测量光线的昏暗程度测量出来的值将随时间变化。 由于没有真实数据下面用mathematica比较粗糙地模拟水域的浑浊度数据 能看到信号主要集中在低频我们需要把毛刺去除也就是把高频去除在频域进行低通滤波Low Pass Filtering 滤波后的波形如下 频域运算$\pi_{2\nu_c} F(s)$时域运算为卷积$2\nu_c sinc(2\nu_c t)*f(t)$。 滤波概念 滤波Filtering通常等同于卷积滤波是由滤波器实现的。 滤波器Filter是一个输入可变的函数信号与一个固定的函数信号进行卷积运算的系统。这个固定的信号叫做脉冲响应impulse response。 $g \quad \quad f \qquad * \qquad h$$\qquad output \qquad input \qquad impulse \ response$ 卷积是在时域的表示方法一般来说频域的运算会比时域简单许多因为频域只需执行相乘运算。 $G(s) F(s)H(s)$ $H(s)$被称为传递函数transfer function在设计滤波器时通常是设计合适的传递函数$H(s)$。 下面是比较常用的滤波器。 低通滤波器low pass filter常用于图像压缩。 高通滤波器high pass filter常用于边缘检测edge detection 带通滤波器band pass filter 卷积的含义 教授认为只需要从频域理解为函数的相乘即可而在时域上不需要去具象化卷积。I think it is equally idiotic to try to visualize convolution. I think the way to visualize convolution, if there is a way, is to think in terms of multiplying in the frequency domain. 卷积的性质 一般来说$f*g$通常比单独的$f$和$g$更加平滑。 如矩形函数$\Pi$是不连续的两个$\Pi$函数的卷积是三角函数$\Lambda$是连续的。 $\mathcal{F}(\Pi * \Pi) (\mathcal{F} \Pi)(\mathcal{F} \Pi) sinc^2 \mathcal{F} \Lambda$ 傅里叶导数定理 对原函数进行微分后它的傅里叶变换等于其原函数的傅里叶变换乘以$2\pi is$ $\mathcal{F}(f)(s) 2\pi is(\mathcal{F} f)(s)$ 证明过程如下 傅里叶逆变换有 $f(t) \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty} F(s)e^{2\pi ist}ds }$ 对其求微分 $\begin{align*}\frac{\partial f}{\partial t} \int_{-\infty}^{\infty}F(s)(2\pi ise^{2\pi ist})ds \\ \int_{-\infty}^{\infty}(2\pi isF(s))e^{2\pi ist}ds \\\end{align*}$ 则有$f$与$2\pi isF(s)$为傅里叶变换的关系 $f \ \leftrightarrow \ 2\pi isF(s)$ 推广开来有 $\mathcal{F}(f^n)(s) (2\pi is)^n(\mathcal{F} f)(s)$ 无限长柱上的热方程 $U(x,t)$表示时间$t$位置$x$上的温度。 已知初始温度为$U(x,0) f(x)$热方程为$U_t \frac{1}{2}U_{xx}$。 $U(x,t)$的求解过程如下 对位置变量进行$x$求傅里叶变换假设变换的结果为$U(s,t)$。 对热方程等号左边进行傅里叶变换 $\begin{align*}\mathcal{F}(U_t) \int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi isx} \frac{\partial}{\partial t}U(x,t)dx \\ \frac{\partial}{\partial t}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-2\pi isx}U(x,t)dx \\ \frac{\partial}{\partial t}U(s,t)\end{align*}$ 对热方程等号右边进行傅里叶变换 $\mathcal{F}(\frac{1}{2}U_{xx}) \frac{1}{2}(2\pi is)^2U(s,t) –2\pi ^2s^2U(s,t)$ 即有 $\frac{\partial}{\partial t}U(s,t) –2\pi^2s^2U(s,t)$ 求偏微分方程得 $U(s,t) U(s,0)e^{-2\pi^2s^2t}$ $U(s,0) \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}U(x,0)e^{-2\pi isx}dx\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-2\pi isx}dx F(s) }$ 把$U(s,0)$的结果代入$U(s,t)$得 $U(s,t) F(s)e^{-2\pi ^2s^2t}$ 转换为卷积格式 $e^{-2pi ^2s^2t} \mathcal{F}(\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{\frac{x^2}{2t}})$ $\begin{align*}U(s,t) F(s)e^{-2\pi ^2s^2t}\\ (\mathcal{F} f)(\mathcal{F} (\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{\frac{x^2}{2t}}))\\ \mathcal{F}(f* \frac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{\frac{x^2}{2t}})\end{align*}$ $U(x,t) f(x) * \frac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{\frac{x^2}{2t}}$
