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级数敛散性和积分敛散性的区别联系是什么#xff1f;学习的目的是什么#xff1f;最重要的目的是什么#xff1f;
主要内容。
部分和 s ∑ i 1 n u i s \sum_{i1}^{n} u _{i} si1∑nui
注意#xff1a;部分和不是数列的一部分之和#xff0c;…问题
级数敛散性和积分敛散性的区别联系是什么学习的目的是什么最重要的目的是什么
主要内容。
部分和 s ∑ i 1 n u i s \sum_{i1}^{n} u _{i} si1∑nui
注意部分和不是数列的一部分之和而是一个极限的概念此处的n是一个极限值 n 趋于正无穷 \color{red}n趋于正无穷 n趋于正无穷一定要注意。
调和级数 1 1 2 1 3 1 4 1 5 . . . 1 n − 2 1 n − 1 1 n (1.2) 1 \frac{1}{2} \frac{1}{3} \frac{1}{4} \frac{1}{5} ... \frac{1}{n-2} \frac{1}{n-1} \frac{1}{n} \tag{1.2} 121314151...n−21n−11n1(1.2)
调和级数可以化为如下积分式 ∫ 1 ∞ 1 x d x ln x ∣ 1 ∞ ∞ ( 此处是错误的 ) \color{red}\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x}dx \ln x |_{1}^{\infty} \infty \tag{\color{red}此处是错误的} ∫1∞x1dxlnx∣1∞∞(此处是错误的)
可见调和级数发散。
调和级数可以华为如下积分形式 1 1 2 1 3 . . . 1 n − 1 1 n 1 n ( 1 1 n 1 2 n 1 3 n . . . 1 n − 1 n 1 n n ) 1 n ( 1 n n 1 n − 1 n . . . 1 3 n 1 2 n 1 1 n ) ∫ 0 1 1 x d x ln x ∣ 0 1 ∞ ( 此处是正确的 ) \color{red}1 \frac{1}{2} \frac{1}{3} ...\frac{1}{n-1} \frac{1}{n} \\ \frac{1}{n}(\frac{1}{\frac{1}{n}} \frac{1}{\frac{2}{n}} \frac{1}{\frac{3}{n}} ...\frac{1}{\frac{n-1}{n}} \frac{1}{\frac{n}{n}} ) \\ \frac{1}{n}(\frac{1}{\frac{n}{n}} \frac{1}{\frac{n-1}{n}} ...\frac{1}{\frac{3}{n}} \frac{1}{\frac{2}{n}} \frac{1}{\frac{1}{n}} ) \\ \int_{0}^{1} \frac{1}{x}dx \ln x |_{0}^{1} \infty \tag{\color{red}此处是正确的} 12131...n−11n1n1(n11n21n31...nn−11nn1)n1(nn1nn−11...n31n21n11)∫01x1dxlnx∣01∞(此处是正确的)
调和级数是一个重要级数是判断其他级数收敛的参考。若一个级数大于调和级数则必定发散若一个级数是调和级数的无穷小则一定收敛。
级数收敛的必要非充分条件
若级数 ∑ i 1 ∞ u i \sum_{i 1}^{\infty} u_{i} ∑i1∞ui收敛则一般项 u i u_{i} ui的极限为0。
此条件是级数收敛的必要条件而非充分条件。比如调和级数的一般项为0但是并不收敛。 同时若级数的一般项不是 0 则级数必发散。 \color{green}同时若级数的一般项不是0则级数必发散。 同时若级数的一般项不是0则级数必发散。此结论可以证明。
达朗贝尔判别法 正向级数 ∑ i 1 ∞ u i 若 lim i → ∞ u i 1 u i 1 则级数发散 若 lim i → ∞ u i 1 u i 1 则级数收敛 若 lim i → ∞ u i 1 u i 1 则无法判别敛散性 \color{red}正向级数\sum_{i 1}^{\infty} u_{i} \\ 若\lim_{i \to \infty} \frac{u_{i1}}{u_{i}} 1则级数发散\\ 若\lim_{i \to \infty} \frac{u_{i1}}{u_{i}} 1则级数收敛\\ 若\lim_{i \to \infty} \frac{u_{i1}}{u_{i}} 1则无法判别敛散性 正向级数i1∑∞ui若i→∞limuiui11则级数发散若i→∞limuiui11则级数收敛若i→∞limuiui11则无法判别敛散性
证明 1若 lim i → ∞ u i 1 u i ρ 1 , 即 u i 1 u i , 即 u i 1 k u i , k 1 \lim_{i \to \infty} \frac{u_{i1}}{u_{i}} \rho 1, 即u_{i1} u_{i}, 即u_{i1} ku_{i},k 1 limi→∞uiui1ρ1,即ui1ui,即ui1kui,k1
2若 lim i → ∞ u i 1 u i ρ 1 , 即 u i 1 u i , 即 u i 1 k u i , k 1 \lim_{i \to \infty} \frac{u_{i1}}{u_{i}} \rho 1, 即u_{i1} u_{i}, 即u_{i1} ku_{i},k 1 limi→∞uiui1ρ1,即ui1ui,即ui1kui,k1
通过考察等比数列几何级数的求和公式 a 1 1 − q n 1 − q a_{1}\frac{1-q^{n}}{1- q} a11−q1−qn 当公比q大于1时几何级数发散当q小于1时几何级数收敛于 a 1 1 1 − q a_{1} \frac{1}{1-q} a11−q1。
故达朗贝尔判别法得证。
柯西判别法 正向级数 ∑ i 1 ∞ u i 若 lim i → ∞ n n 1 则级数发散 若 lim i → ∞ n n 1 则级数收敛 若 lim i → ∞ n n 1 则无法判别敛散性 \color{red}正向级数\sum_{i 1}^{\infty} u_{i} \\ 若\lim_{i \to \infty} \sqrt [n] n 1则级数发散\\ 若\lim_{i \to \infty}\sqrt [n] n 1则级数收敛\\ 若\lim_{i \to \infty} \sqrt [n] n 1则无法判别敛散性 正向级数i1∑∞ui若i→∞limnn 1则级数发散若i→∞limnn 1则级数收敛若i→∞limnn 1则无法判别敛散性
证明方式也参考达朗贝尔判别法。
5. 极限审敛法 正向级数 ∑ i 1 ∞ u i 若 lim i → ∞ n u i l 0 则级数发散 若 lim i → ∞ n p u i l 0 ( p 1 ) 则级数收敛 \color{red}正向级数\sum_{i 1}^{\infty} u_{i} \\ 若\lim_{i \to \infty} n u_{i} l 0则级数发散\\ 若\lim_{i \to \infty} n^p u_{i} l 0(p 1)则级数收敛 正向级数i1∑∞ui若i→∞limnuil0则级数发散若i→∞limnpuil0(p1)则级数收敛
p级数的敛散性
讨论p级数的敛散性 1 1 2 p 1 3 p 1 4 p . . . 1 ( n − 1 ) p 1 n p (1.6) 1 \frac{1}{2^p} \frac{1}{3^p} \frac{1}{4^p} ... \frac{1}{(n-1)^p} \frac{1}{n^p} \tag{1.6} 12p13p14p1...(n−1)p1np1(1.6)
证明
假设 0p1那么此级数发散。 假设p1, 若k x此时有如下数学逻辑 1 k p 1 x p \frac{1}{k^p} \frac{1}{x^p} kp1xp1 1 k p ∫ k − 1 k 1 k p d x ∫ k − 1 k 1 x p d x \frac{1}{k^p} \int_{k-1}^{k} \frac{1}{k^p}dx \int_{k-1}^{k} \frac{1}{x^p}dx kp1∫k−1kkp1dx∫k−1kxp1dx
(1.6)式可化为 1 ∑ k 2 n 1 k p 1 ∫ 1 2 1 2 p d x ∫ 2 3 1 3 p d x ∫ 3 4 1 4 p d x . . . ∫ n − 1 n 1 n p d x 1 ∫ 1 2 1 x p d x ∫ 2 3 1 x p d x ∫ 3 4 1 x p d x . . . ∫ n − 1 n 1 x p d x 1 ∫ 1 n 1 x p d x 1 1 1 − p 1 \sum_{k2}^{n} \frac{1}{k^p} \\ 1 \int_{1}^{2} \frac{1}{2^p}dx \int_{2}^{3} \frac{1}{3^p}dx \int_{3}^{4} \frac{1}{4^p}dx ... \int_{n-1}^{n} \frac{1}{n^p}dx \\ 1 \int_{1}^{2} \frac{1}{x^p}dx \int_{2}^{3} \frac{1}{x^p}dx \int_{3}^{4} \frac{1}{x^p}dx ... \int_{n-1}^{n} \frac{1}{x^p}dx 1 \int_{1}^{n} \frac{1}{x^p}dx \\ 1 \frac{1}{1-p} 1k2∑nkp11∫122p1dx∫233p1dx∫344p1dx...∫n−1nnp1dx1∫12xp1dx∫23xp1dx∫34xp1dx...∫n−1nxp1dx1∫1nxp1dx11−p1
因此当p1时级数收敛。
交错级数莱布尼茨定理
交错级数 u 1 − u 2 u 3 − u 4 . . . u n − 1 − u n ∑ i 1 ∞ ( − 1 ) i − 1 u i (1.7) u_1 - u_2 u_3 -u_4 ... u_{n-1} - u_n \tag{1.7} \sum_{i1}^{\infty} (-1)^{i-1} u_i u1−u2u3−u4...un−1−uni1∑∞(−1)i−1ui(1.7)若满足条件 (1) u i ≥ u i 1 u_i \ge u_{i1} ui≥ui1 (2) lim i → ∞ u i 0 \lim _{i \to \infty} u_i 0 limi→∞ui0 则 (1) 级数收敛 (2) 级数的和小于等于 u 1 u_1 u1 (3) 级数的余项的绝对值小于等于 u n 1 u_{n1} un1
证明 (1.7)式可化为 u 1 − u 2 − u 3 ) − ( u 4 − u 5 ) − . . . − ( u n − 1 − u n ) u_1 - u_2 - u_3) - (u_4 - u_5) - ... -( u_{n-1} - u_n ) u1−u2−u3)−(u4−u5)−...−(un−1−un) 由上式可得括号中的每项都是正数因此级数收敛并且级数的和小于等于 u 1 u_1 u1并且 级数的余项的绝对值小于等于 u n 1 u_{n1} un1。
小例子
判断 n 2 n 1 n 3 n 2 n 1 \frac{n^2 n 1}{n^3 n^2 n 1} n3n2n1n2n1的敛散性。
提示根据达朗贝尔审敛法。
绝对收敛和条件收敛
若级数 s ∑ i 1 n ∣ u i ∣ s \sum_{i1}^{n} |u _{i}| s∑i1n∣ui∣收敛则级数 s ∑ i 1 n u i s \sum_{i1}^{n} u _{i} s∑i1nui收敛。 证明
假设 v n 1 2 ( u n ∣ u n ∣ ) v_n \frac{1}{2}(u_n |u_n|) vn21(un∣un∣) 那么 v n ≤ ∣ u n ∣ 且 v n ≥ 0 v_n \le |u_n|且v_n \ge 0 vn≤∣un∣且vn≥0因为 ∑ n 1 ∞ u n \sum_{n1}^{\infty} u_n ∑n1∞un收敛根据比较审敛定理2可得级数 ∑ n 1 ∞ v n \sum_{n1}^{\infty} v_n ∑n1∞vn收敛。这里的数学思维一个是运用了 v n v_n vn一般项的构造另一个是比较审敛定理2的使用该定理的条件是级数必须是正项级数。 另外一种思路是构造 w n 1 2 ( ∣ u n ∣ − u n ) w_n \frac{1}{2}( |u_n| - u_n) wn21(∣un∣−un)该表达式也是绝对收敛求解中较为常用的一种思路。 级数的绝对收敛和条件收敛的关系是必要非充分条件。
Abel定理及收敛半径的判定
Abel定理从理论上证明了幂函数收敛的条件和收敛半径的存在。
幂级数收敛半径的计算公式 ρ 1 lim n → ∞ ∣ u n 1 u n ∣ \rho \frac{1}{\lim_{n \to \infty}| \frac{u_{n1}}{u_n} | } ρlimn→∞∣unun1∣1
若上述公式的分母为0收敛半径为无穷若上述公式的分母为无穷则收敛半径为0。
本部分的理论基础是几何级数等比数列。几何级数、调和级数、p级数等是级数部分必须理解的知识否则寸步难行。
考虑如下几个问题是否正确
(1) 上述公式是否可以理解为收敛半径 lim n → ∞ ∣ u n u n 1 ∣ \color{red}收敛半径 \lim_{n \to \infty}| \frac{u_{n}}{u_{n1}} | 收敛半径n→∞lim∣un1un∣
(2) 上述定理的绝对收敛条件下成立
那么非绝对收敛是否成立呢11. 幂级数的和其积分和微分也是幂级数而且跟原来的幂级数有相同的收敛半径。这一点根据收敛半径的公式可以很容易的验证。
幂级数的展开以及二项式公式。此点不解释。
