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知识点1 曲面方程定义
定义1 如果曲面 S 与方程F (x,y,z ) 0 有下述关系#xff1a;
#xff08;1#xff09; 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程
#xff08;2#xff09;不在曲面S上的点的坐标不满足此方程
则F#xff08;x,y,z#xff0…空间中的曲线与曲面
知识点1 曲面方程定义
定义1 如果曲面 S 与方程F (x,y,z ) 0 有下述关系
1 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程
2不在曲面S上的点的坐标不满足此方程
则Fx,y,z 0 叫做曲面S的方程曲面S叫做方程F (x,y,z) 0 图形。
注 Fx,y,z⛵️ 三元方程
两个基本应用问题
1 已知一曲面作为点的几何轨迹时研究其点的坐标满足的代数式
2已知方程式研究他所表示的几何形状。 曲面方程定义–球面 求动点到定点Mx0,y0,z0距离为R的轨迹方程。 解设轨迹上动点为M1xyz依题意|MM1| R ( x − x 0 ) 2 ( y − y 0 ) 2 ( z − z 0 ) 2 R \sqrt{(x-x0)^2 (y-y0)^2 (z - z0)^2 } R (x−x0)2(y−y0)2(z−z0)2 R 故所求方程为 ( x − x 0 ) 2 ( y − y 0 ) 2 ( z − z 0 ) 2 R 2 (x-x0)^2 (y-y0)^2 (z - z0)^2 R^2 (x−x0)2(y−y0)2(z−z0)2R2 特别地当M0在原点时球面方程为 x 2 y 2 z 2 R 2 x^2y^2z^2R^2 x2y2z2R2 z ± R 2 − x 2 − y 2 z \pm \sqrt{R^2-x^2-y^2} z±R2−x2−y2 表示上下半球面 标准式 A x 2 B y 2 C z 2 − D x E y F 0 Ax^2 By^2 Cz^2- Dx Ey F 0 Ax2By2Cz2−DxEyF0 一般式 ( x − x 0 ) 2 ( y − y 0 ) 2 z − z 0 ) 2 R 2 (x-x0)^2 (y-y0)^2 z-z0)^2 R^2 (x−x0)2(y−y0)2z−z0)2R2 球心x0y0z0 半径 R 没有球心和半径公式
曲面关于坐标面的对称性
定理1 设曲面S 的方程Fxyz 0 则曲面S关于oxy平面对称的充要条件是如果点Pxyz的坐标满足方程Fxyz 0 那么必有点 P ‘ P^ P‘(x,y,-z)的坐标也满足方程Fx,y,-z 0.
简言之曲面S关于Oxy平面对称的充要条件是Fx,y,z F(x,y,-z).
同理可得曲面S关于Oyx平面对称的充要条件是 F-xyz Fxyz。
曲面S关于Ozx平面对称的充要条件是 Fx-yz Fxyz。
曲面方程–旋转曲面
一条平面曲线绕其平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面叫做选装曲面。该定直线称为旋转轴。该曲线称为母线。 只讨论母线在坐标面上且以坐标轴为旋转轴的旋转面的旋转面方程曲面。
如oxy平面上的曲线 CF(y,z) 0 绕z轴旋转所生成的旋转面方程F ± x 2 y 2 , z \pm \sqrt{x^2y^2},z ±x2y2 ,z 0
如oyz平面上的曲线CF(y,z) 0 绕z轴旋转所生成的旋转面方程F$y,\sqrt{x2z2} 0 $
例5 求 Oyz 平面上的直线 z a y ( a 0 ) z ay(a 0) zay(a0)绕 z 轴旋转所生成的旋
转面方程。
解由分析可知绕 z 轴转即 z 不变 y 变成 ± x 2 y 2 \pm \sqrt{x^2y^2} ±x2y2 ,
故而可得 z ± x 2 y 2 z \pm \sqrt{x^2y^2} z±x2y2
整理可得 z 2 a 2 ( x 2 y 2 ) z^2 a^2(x^2y^2) z2a2(x2y2)
这是顶点在原点的圆锥面。
例6 将以上的母线变成抛物线 z a y 2 ( a 0 ) z ay^2(a0) zay2(a0)
可得旋转抛物面 z a ( x 2 y 2 ) z a(x^2 y^2) za(x2y2)
曲面方程–柱面方程
定义2 平行定直线 L 并沿定曲线 C 移动的直线 L 形成的轨迹叫做柱
面。C 叫做准线 L 叫做母线。 常见柱面举例 y 2 2 x 表示抛物柱面 y^2 2x 表示抛物柱面 y22x表示抛物柱面 x 2 y 2 R 2 表示圆柱面 x^2 y^2 R^2表示圆柱面 x2y2R2表示圆柱面 x 2 a 2 y 2 b 2 1 表示椭圆柱面 \frac{x^2}{a^2}\frac{y^2}{b^2} 1 表示椭圆柱面 a2x2b2y21表示椭圆柱面 x 2 a 2 − y 2 b 2 1 表示双曲柱面 \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} 1 表示双曲柱面 a2x2−b2y21表示双曲柱面 x − y 0 表示平面 x-y0 表示平面 x−y0表示平面 柱面分类
(1) 方程F(x , y)0 表示柱面母线平行与z轴准线 oxy面上的曲线L1 (2)方程Gyz 0 表示柱面母线平行与x轴准线 oyz面上的曲线L2 (3)方程Hzx 0 表示柱面母线平行与y轴准线oxz面上的曲线L3 空间曲线的参数方程
1.一般式方程定义
定义3 空间曲线可视为两曲面的交线其一般方程为方程组 { F ( x , y , z ) 0 G ( x , y , z ) 0 \left\{ \begin{array}{c} F(x,y,z) 0 \\ G(x,y,z) 0 \\ \end{array} \right. {F(x,y,z)0G(x,y,z)0
例如方程组: { x 2 y 2 1 2 x 3 z 6 \left\{ \begin{array}{c} x^2 y^2 1 \\ 2x 3z 6 \\ \end{array} \right. {x2y212x3z6
表示圆柱面与平面的交线 C 。
2.参数式方程定义
定义4 将曲线 C 上的动点坐标xyz 表示成参数 t 的函数
随着 t 的变动可得 C 上全部的点。 $$ \left{ \begin{array}{c} x x(t) \ y y(t) \ z z(t) \
\end{array} \right. 称它为空间曲线的参数方程。 $$ 的动点坐标xyz 表示成参数 t 的函数
随着 t 的变动可得 C 上全部的点。 { x x ( t ) y y ( t ) z z ( t ) 称它为空间曲线的参数方程。 \left\{ \begin{array}{c} x x(t) \\ y y(t) \\ z z(t) \end{array} \right. 称它为空间曲线的参数方程。 ⎩ ⎨ ⎧xx(t)yy(t)zz(t)称它为空间曲线的参数方程。
