做关于水果的网站,wordpress 生成地区,凤翔网站开发,比较个性的网站科普一下所谓“大数定律的四种证法” 作者 : 王若度最近网上总是调侃数学、统计博士知道所谓“大数定律的四种证法”#xff0c;本身是模仿《孔乙己》的桥段#xff0c;用以调侃数学、统计博士学一些没什么用的东西。其实我是从来没听说过大数定律的四种证法这回事的#x…科普一下所谓“大数定律的四种证法” 作者 : 王若度 最近网上总是调侃数学、统计博士知道所谓“大数定律的四种证法”本身是模仿《孔乙己》的桥段用以调侃数学、统计博士学一些没什么用的东西。其实我是从来没听说过大数定律的四种证法这回事的我相信大多数同学也都没有听说过。因此这件事引起了我的兴趣也顺便为“大数定律”正个名。顺便说一下百度百科的大数定律页面逊毙了今天(2012/11/25)我去看历史介绍里竟然介绍的是中心极限定理的发展过程。 对于一般人来说大数定律的非严格表述是这样的X_1,...,X_n是独立同分布随机变量序列均值为uS_nX_1...X_n则S_n/n收敛到u. 如果说“弱大数定律”上述收敛是指依概率收敛(in probability)如果说“强大数定律”上述收敛是指几乎必然收敛(almost surely/with probability one)。 大数定律通俗一点来讲就是样本数量很大的时候样本均值和真实均值充分接近。这一结论与中心极限定理一起成为现代概率论、统计学、理论科学和社会科学的基石之一重要性在本人看来甚至不弱于微积分。有趣的是虽然大数定律的表述和证明都依赖现代数学知识但其结论最早出现在微积分出现之前。而且在生活中即使没有微积分的知识也可以应用。例如没有学过微积分的学生也可以轻松利用excel或计算器计算样本均值等统计量从而应用于社会科学。 最早的大数定律的表述可以追朔到公元1500年左右的意大利数学家Cardano。1713年著名数学家James (Jacob) Bernouli正式提出并证明了最初的大数定律。不过当时现代概率论还没有建立起来测度论、实分析的工具还没有出现因此当时的大数定律是以“独立事件的概率”作为对象的。后来历代数学家如Poisson“大数定律”的名字来自于他、Chebyshev、Markov、Khinchin“强大数定律”的名字来自于他、Borel、Cantelli等都对大数定律的发展做出了贡献。直到1930年现代概率论奠基人、数学大师Kolgomorov才真正证明了最后的强大数定律。 下面均假设X, X_1,...,X_n是独立同分布随机变量序列均值为u。独立同分布随机变量和的大数定律常有的表现形式有以下几种。 初等概率论 (1). 带方差的弱大数定律若E(X^2)小于无穷则S_n/n-u依概率收敛到0。 证明方法Chebyshev不等式即可得到。这个证明是Chebyshev给出的。 (2). 带均值的弱大数定律若u存在则S_n/n-u依概率收敛到0。 证明方法用Taylor展开特征函数证明其收敛到常数得到依分布收敛然后再用依分布收敛到常数等价于依概率收敛。 现代概率论 (3). 精确弱大数定律若xP(|X|x) 当x趋于无穷时收敛到0则S_n/n-u_n依概率收敛到0其中u_nE[X 1_{|X|n}]. 在这个定理里不需要u存在。 证明方法需要用到截断随机变量 X 1_{|X|n}. 然后要用的三角阵列的依概率收敛定理和Fubini定理分析积分变换。 (4). 带4阶矩的强大数定律若E(X^4)小于无穷则S_n/n-u几乎必然收敛到0. 证明方法与(1)类似先用Chebyshev不等式。然后因为4阶矩的存在得到P(S_nnt)对任意常数t的收敛速度足够快满足Borel-Cantelli的要求用Borel-Cantelli引理得到大数定律。 (5). 带方差的强大数定律若E(X^2)小于无穷则S_n/n-u几乎必然收敛到0. 证明方法用Kolgoromov三级数定理和Kronecker引理。 (6). 精确强大数定律若u存在则S_n/n-u几乎必然收敛到0. 证明方法这个大数定律的证明确实有几种不同的方法。最早的证明是由数学大师Kolgoromov给出的。现在Durrett (2010)的书上用的是Etemadi (1981)的方法需要截断X用到现代概率论的知识如Borel-Cantelli引理、Kolgomorov三级数定理、Fubini定理等。感谢读者指出Durrett的书在倒向鞅一章中给出了大数定律的倒向鞅方法证明只需要用到倒向鞅的知识和Hewitt-Savage 0-1律不过这也是现代概率论的知识。 此外还有很多不同的大数定律不同分布的不独立的序列等。定律也不一定是关于随机变量的也可以是关于随机函数的甚至随机集合的等等。以数学家命名的也有Khinchin大数定律(不独立序列的强大数定律)、Chebyshev大数定律(弱大数定律(1))、Poisson大数定律(不同概率的随机事件序列的大数定律)、Bernoulli大数定律(随机事件的大数定律)、Kolgomorov大数定律(强大数定律(6))等等…… 以上(1-6)是常见的独立同分布序列的大数定律。其中(3)和(6)是最严格也是最精妙的结果证明所涉及的高等概率论知识也最多。它们成立的条件不仅是充分条件也是必要条件因此它们算是完结了大数定律的发展。大数定律的发展符合数学的一般规律想证明某一结论条件越弱弱大数定律2阶矩条件-1阶矩条件-没矩条件强大数定律4阶矩条件-2阶矩条件-1阶矩条件证明也就变得越难。 虽然只有(3)和(6)是最精确的结果但是必须认识到数学的发展是一个循序渐进的过程如果没有前面那些更强条件下的定理也无法得到最后的大数定律。从最开始的自然界观察到大数定律的存在到最后证明最终形式历时数百年现代概率论也在这个过程中建立起来。此外虽然(3)和(6)比前面的(1)和(5)强很多但是(1)和(5)的条件仅仅是2阶矩或方差的存在因此他们在几百年间早就被广泛使用对于一般的社会科学问题、统计问题等已经足足够用了。 总之大数定律包含概率论里核心的知识。“大数定律的四种证法”尽管表述模糊原意也充满调侃但并不是真如《孔乙己》里回字四种写法所暗示的那样迂腐或毫无价值。作为概率或统计专业的研究生弄懂这些定理表述的区别和证明方法的区别和联系了解前代数学家的工作对于深刻理解现代概率论是很有好处的。当然任何人也不应去死记硬背这些证法我自己也记不住这些证法只要能理解、弄清其中微妙即可。 转载于:https://www.cnblogs.com/gongdiwudu/p/6137887.html
