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2. 如何用一枚硬币等概率地产生一…转载自 这些面试中的智力题你都会了吗
1. 给一个瞎子52张扑克牌并告诉他里面恰好有10张牌是正面朝上的。要求这个瞎子把牌分成两堆使得每堆牌里正面朝上的牌的张数一样多。瞎子应该怎么做
2. 如何用一枚硬币等概率地产生一个1到3之间的随机整数如果这枚硬币是不公正的呢 3. 30枚面值不全相同的硬币摆成一排甲、乙两个人轮流选择这排硬币的其中一端并取走最外边的那枚硬币。如果你先取硬币能保证得到的钱不会比对手少吗
4. 一个环形轨道上有n个加油站所有加油站的油量总和正好够车跑一圈。证明总能找到其中一个加油站使得初始时油箱为空的汽车从这里出发能够顺利环行一圈回到起点。
5. 初始时两个口袋里各有一个球。把后面的n-2个球依次放入口袋放进哪个口袋其概率与各口袋已有的球数成正比。这样下来球数较少的那个口袋平均期望有多少个球
6. 考虑一个n*n的棋盘把有公共边的两个格子叫做相邻的格子。初始时有些格子里有病毒。每一秒钟后只要一个格子至少有两个相邻格子染上了病毒那么他自己也会被感染。为了让所有的格子都被感染初始时最少需要有几个带病毒的格子给出一种方案并证明最优性。
7. 在一个m*n的棋盘上有k个格子里放有棋子。是否总能对所有棋子进行红蓝二染色使得每行每列的红色棋子和蓝色棋子最多差一个
8. 任意给一个8*8的01矩阵你每次只能选一个3*3或者4*4的子矩阵并把里面的元素全部取反。是否总有办法把矩阵里的所有数全部变为1 9. 五个洞排成一排其中一个洞里藏有一只狐狸。每个夜晚狐狸都会跳到一个相邻的洞里每个白天你都只允许检查其中一个洞。怎样才能保证狐狸最终会被抓住
10. 一个经典老题是说把一个3*3*3的立方体切成27个单位立方体若每一刀切完后都允许重新摆放各个小块的位置最少可以用几刀答案仍然是6刀因为正中间那个单位立方体的6个面都是后来才切出来的因此怎么也需要6刀。考虑这个问题若把一个n*n*n的立方体切成一个个单位立方体最少需要几刀
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答案1
把扑克牌分成两堆一堆10张一堆42张。然后把小的那一堆里的所有牌全部翻过来。 答案2
如果是公正的硬币则投掷两次“正反”为1“反正”为2“正正”为3“反反”重来。
如果是不公正的硬币注意到出现“正反”和“反正”的概率一样因此令“正反反正”、“反正正反”、“正反正反”分别为1、2、3其余情况重来。另一种更妙的办法是投掷三次硬币“正反反”为1“反正反”为2“反反正”为3其余情况重来。 答案3
先取者可以让自己总是取奇数位置上的硬币或者总是取偶数位置上的硬币。数一数是奇数位置上的面值总和多还是偶数位置上的面值总和多然后总是取这些位置上的硬币就可以了。 答案4
总存在一个加油站仅用它的油就足够跑到下一个加油站否则所有加油站的油量加起来将不够全程。把下一个加油站的所有油都提前搬到这个加油站来并把油已被搬走的加油站无视掉。在剩下的加油站中继续寻找油量足以到达下个加油站的地方不断合并加油站直到只剩一个加油站为止。显然从这里出发就能顺利跑完全程。 另一种证明方法先让汽车油箱里装好足够多的油随便从哪个加油站出发试跑一圈。车每到一个加油站时记录此时油箱里剩下的油量然后把那个加油站的油全部装上。试跑完一圈后检查刚才路上到哪个加油站时剩的油量最少那么空着油箱从那里出发显然一定能跑完全程。 答案5
先考虑一个看似无关的问题——怎样产生一个1到n的随机排列。首先在纸上写下数字1然后把2写在1的左边或者右边然后把3写在最左边最右边或者插进1和2之间……总之把数字i等概率地放进由前面i-1个数产生的包括最左端和最右端在内的共i个空位中的一个。这样生成的显然是一个完全随机的排列。 我们换一个角度来看题目描述的过程假想用一根绳子把两个球拴在一起把这根绳子标号为1。接下来把其中一个小球分裂成两个小球这两个小球用标号为2的绳子相连。总之把“放进第i个球”的操作想象成把其中一个球分裂成两个用标有i-1的绳子相连的小球。联想我们前面的讨论这些绳子的标号事实上是一个随机的全排列也就是说最开始绳子1的位置最后等可能地出现在每个地方。也就是说它两边的小球个数(1,n-1)、(2,n-2)、(3,n-3)、……、(n-1,1)这n-1种情况等可能地发生。因此小袋子里的球数大约为n/4个。准确地说当n为奇数时小袋子里的球数为(n1)/4当n为偶数时小袋子里的球数为n^2/(4n-4)。 答案6
至少要n个比如一条对角线上的n个格子。n个格子也是必需的。当一个新的格子被感染后全体被感染的格子所组成的图形的周长将减少0个、2个或4个单位具体减少了多少要看它周围被感染的格子有多少个。又因为当所有格子都被感染后图形的周长为4n因此初始时至少要有n个被感染的格子。 答案7
可以。建一个二分图G(X,Y)其中X有m个顶点代表了棋盘的m个行Y有n个顶点代表了棋盘的n个列。第i行第j列有棋子就在X(i)和Y(j)之间连一条边。先找出图G里的所有环由于是二分图环的长度一定是偶数把环里的边红蓝交替染色。剩下的没染色的图一定是一些树。对每棵树递归地进行操作去掉一个叶子节点和对应边把剩下的树进行合法的红蓝二染色再把刚才去掉的顶点和边加回去给这个边适当的颜色以满足要求。 答案8
不能。大矩阵中有36个3*3的小矩阵和25个4*4的小矩阵因此总共有61种可能的操作。显然给定一个操作序列这些操作的先后顺序是无关紧要的另外在一个操作序列中使用两种或两种以上相同的操作也是无用的。因此实质不同的操作序列只有2^61种。但8*8的01矩阵一共有2^64种因此不是每种情况都有办法达到目的。 答案9
按照2, 3, 4, 2, 3, 4的顺序检查狐狸洞可以保证抓住狐狸。为了说明这个方案是可行的用集合F表示狐狸可能出现的位置初始时F {1, 2, 3, 4, 5}。如果它不在2号洞则第二天狐狸已经跑到了F {2, 3, 4, 5}。如果此时它不在3号洞则第三天狐狸一定跑到了F {1, 3, 4, 5}。如果此时它不在4号洞则再过一晚后F {2, 4}。如果此时它不在2号洞则再过一天F {3, 5}。如果此时它不在3号洞再过一天它就一定跑到4号洞了。 方案不是唯一的下面这些方案都是可行的 2, 3, 4, 4, 3, 2 4, 3, 2, 2, 3, 4 4, 3, 2, 4, 3, 2 答案10
事实上从一个更强的命题出发反而能使问题变得更简单。对于一个a*b*c的长方体我们需要f(a)f(b)f(c)刀其中f(x)⌈log(x)/log(2)⌉。只需要注意到在整个过程中的任何一步切完当前最大的块所需要的刀数也就等于整个过程还需要的刀数因为其它小块需要的刀数都不会超过最大块所需刀数它们都可以与最大块一道并行处理。这表明我们的最优决策即是让当前的最大块尽可能的小也就是说要把当前的最大块尽可能相等地切成两半。利用数学归纳法我们可以很快得到本段开头的结论。
