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网络图中的第一个事项称为起始事项#xff0c;它只表示整个任务的开始#xff1b;而最后一个事项称为终止事项#xff0c;它只表示整个任务的结束#xff1b;介于起始事项和终止事项之间的所有事项都称为中间事项#xff0c;它既表示前项工作的结束#xf…七、网络计划
网络图中的第一个事项称为起始事项它只表示整个任务的开始而最后一个事项称为终止事项它只表示整个任务的结束介于起始事项和终止事项之间的所有事项都称为中间事项它既表示前项工作的结束又表示后项工作的开始。
所有各条线路的长度中可以找到一条所需工时最长的路这条最长的线路在网络图中称为关键线路。
每道工作的期望工时可估计为 t ( i , j ) a 4 m b 6 t(i,j)\frac{a4mb}{6} t(i,j)6a4mb 其中 a a a 为最乐观时间 b b b 为最悲观时间 m m m 为最可能完成时间。
事项有三个参数最早开始、最迟结束、时差。
工作的时间参数有最早开始、最早结束、最迟开始、最迟结束、总时差和单时差。
总时差给出了可供利用的最多机动时间为工作最晚结束时间减去最早结束时间。总时差为 0 的工作称为关键工作连接所有关键工作的线路即为关键线路。
工作的单时差为紧前工作最晚结束紧后工作最早开始时具有的机动时间。关键工作的单时差一定为 0 但单时差为 0 的工作不一定为关键工作。
工作的总时差等于它的箭尾事项和箭头事项的时差之和加上本身的单时差。 八、排队论
3 个基本部分输入过程、排队规则、服务机构。
最主要、影响最大的三个因素1. 顾客相继到达的间隔时间的分布2. 服务时间的分布3. 服务台个数。
Kendall 记号 X / Y / Z / A / B / C X/Y/Z/A/B/C X/Y/Z/A/B/C 前三个分别为最主要三个因素后三个分别是系统容量限制 N N N 顾客源数目 m m m 以及服务规则。 M / M / 1 / ∞ / ∞ M/M/1/\infty/\infty M/M/1/∞/∞ 的状态概率的方程 { λ P 0 μ P 1 , λ P n − 1 μ P n 1 ( λ μ ) P n , n ≥ 1. \begin{cases} \lambda P_0\mu P_1, \\ \lambda P_{n-1}\mu P_{n1}(\lambda\mu)P_n,n\geq1. \end{cases} {λP0μP1,λPn−1μPn1(λμ)Pn,n≥1. 要求服务强度 ρ 1 \rho1 ρ1 可推得 P 0 1 − ρ , P n ρ n P 0 P_01-\rho,P_n\rho^nP_0 P01−ρ,PnρnP0 。各指标公式为 L s λ μ − λ , L q L s − λ μ ; W s L s λ , W q W s − 1 μ . L_s\frac{\lambda}{\mu-\lambda},L_qL_s-\frac{\lambda}{\mu};W_s\frac{L_s}{\lambda},W_qW_s-\frac{1}{\mu}. Lsμ−λλ,LqLs−μλ;WsλLs,WqWs−μ1. 在 M / M / 1 M/M/1 M/M/1 情况下顾客在系统中逗留的时间服从参数为 μ − λ \mu-\lambda μ−λ 的指数分布因此期望为 1 / ( μ − λ ) 1/(\mu-\lambda) 1/(μ−λ) 。 Little 公式有四个为 L s λ W s , L q λ W q ; W s W q 1 μ , L s L q λ μ . L_s\lambda W_s,L_q\lambda W_q;W_sW_q\frac{1}{\mu},L_sL_q\frac{\lambda}{\mu}. LsλWs,LqλWq;WsWqμ1,LsLqμλ. 对于有容量限制的 M / M / 1 / N / ∞ M/M/1/N/\infty M/M/1/N/∞ 其状态概率的稳态方程比 M / M / 1 / ∞ / ∞ M/M/1/\infty/\infty M/M/1/∞/∞ 多一个在系统中有 N N N 个顾客时的方程。此时系统只会中不会再有顾客进入于是在 n N nN nN 处只有 λ P N − 1 μ P N \lambda P_{N-1}\mu P_N λPN−1μPN 即 { λ P 0 μ P 1 , λ P n − 1 μ P n 1 ( λ μ ) P n , n ≤ N − 1 , λ P N − 1 μ P N . \begin{cases} \lambda P_0\mu P_1, \\ \lambda P_{n-1}\mu P_{n1}(\lambda\mu)P_n,n\leq N-1,\\ \lambda P_{N-1}\mu P_N. \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧λP0μP1,λPn−1μPn1(λμ)Pn,n≤N−1,λPN−1μPN. 此时有 P 0 P 1 ⋯ P N 1 P_0P_1\cdotsP_N1 P0P1⋯PN1 可以解得 P 0 1 − ρ 1 − ρ N 1 P_0\frac{1-\rho}{1-\rho^{N1}} P01−ρN11−ρ 各个状态之间仍然是满足 P n ρ n P 0 P_n\rho^nP_0 PnρnP0 。队长指标为 L s ρ 1 − ρ − ( N 1 ) ρ N 1 1 − ρ N 1 , L q L s − ( 1 − P 0 ) L_s\frac{\rho}{1-\rho}-\frac{(N1)\rho^{N1}}{1-\rho^{N1}},L_qL_s-(1-P_0) Ls1−ρρ−1−ρN1(N1)ρN1,LqLs−(1−P0) 当考虑等待时间到达率应变为有效到达率 λ e \lambda_e λe 其值为 ( 1 − P N ) λ (1-P_N)\lambda (1−PN)λ 可推出其另一个表达式为 λ e μ ( 1 − P 0 ) \lambda_e\mu(1-P_0) λeμ(1−P0) 。Little 公式仍然适用即 W s L s / λ e , W q W s − 1 / μ W_sL_s/\lambda_e,W_qW_s-1/\mu WsLs/λe,WqWs−1/μ 。
对于顾客源为有限 ( M / M / 1 / ∞ / m ) (M/M/1/\infty/m) (M/M/1/∞/m)的情形最常见的是机器因故障待修的问题。特别的是它每个顾客经过服务后仍回到原来总体所以它每个状态的到达转移都不相同。状态 0 到状态 1 的转移率为 m λ m\lambda mλ 状态 1 到状态 2 的转移率为 ( m − 1 ) λ (m-1)\lambda (m−1)λ 状态 m − 1 m-1 m−1 到状态 m m m 的转移率为 λ \lambda λ 。而且由于顾客总体为 m m m 实际上容量最大也不会超过 m m m 因此这和 ( M / M / 1 / m / m ) (M/M/1/m/m) (M/M/1/m/m) 的意义相同。
对于标准的多服务台 ( M / M / c / ∞ / ∞ ) (M/M/c/\infty/\infty) (M/M/c/∞/∞) 整个系统的平均服务率平均利用率为 λ / ( c μ ) \lambda/(c\mu) λ/(cμ) 需保证其小于 1 。由于其有多个服务台因此每个状态的离去转移也不同状态 1 到状态 0 的转移率为 μ \mu μ 状态 2 到状态 1 的转移率为 2 μ 2\mu 2μ状态 n ( n c ) n(nc) n(nc) 到状态 n − 1 n-1 n−1 的转移率为 n μ n\mu nμ 。当 n ≥ c n\geq c n≥c 时后面的状态转移率一直为 c μ c\mu cμ 。
对于一般服务时间 M / G / 1 M/G/1 M/G/1 模型是指顾客到达间隔服从负指数分布但服务时间服从任意分布的情形。下面的关系都是成立的 E ( 系统中顾客数 ) E ( 队列中顾客数 ) E ( 服务机构顾客数 ) E ( 系统中逗留时间 ) E ( 排队时间 ) E ( 服务时间 ) E(系统中顾客数)E(队列中顾客数)E(服务机构顾客数)\\ E(系统中逗留时间)E(排队时间)E(服务时间) E(系统中顾客数)E(队列中顾客数)E(服务机构顾客数)E(系统中逗留时间)E(排队时间)E(服务时间) 当服务时间服从负指数分布时 E ( 服务时间 ) 1 / μ , E ( 服务机构顾客数 ) λ E ( T ) ρ E(服务时间)1/\mu,E(服务机构顾客数)\lambda E(T)\rho E(服务时间)1/μ,E(服务机构顾客数)λE(T)ρ 。
P-K 公式 ρ λ E ( T ) \rho\lambda E(T) ρλE(T) L s ρ ρ 2 λ 2 D ( T ) 2 ( 1 − ρ ) L_s\rho\frac{\rho^2\lambda^2D(T)}{2(1-\rho)} Lsρ2(1−ρ)ρ2λ2D(T) 只要知道 λ , E ( T ) , D ( T ) \lambda,E(T),D(T) λ,E(T),D(T) 不管什么分布就可以求出 L s L_s Ls 进而求出 L q L s − λ E ( T ) , W s L s / λ , W q L q / λ L_qL_s-\lambda E(T),W_sL_s/\lambda,W_qL_q/\lambda LqLs−λE(T),WsLs/λ,WqLq/λ 。
