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消元矩阵执行消元步骤用到的矩阵。从第 i i i 个方程减去 l i j l_{ij} lij 乘第 j j j 个方程#xff08;将 x j x_j xj 从第 i i i 行中消去#xff09;。我们需要很多个简单的矩阵 E i j E_{ij} Eij#xff0c;每一个对应一个主对角线下方要消…一、消元矩阵
消元矩阵执行消元步骤用到的矩阵。从第 i i i 个方程减去 l i j l_{ij} lij 乘第 j j j 个方程将 x j x_j xj 从第 i i i 行中消去。我们需要很多个简单的矩阵 E i j E_{ij} Eij每一个对应一个主对角线下方要消除的非零数字。 后面我们会把所有的 E i j E_{ij} Eij 结合成一个矩阵 E E E一次性完成消元。最简洁的方法是将所有的逆矩阵 ( E i j ) − 1 (E_{ij})^{-1} (Eij)−1 结合成一个整体的矩阵 L E − 1 LE^{-1} LE−1。本节的内容
了解每一个步骤都是一次矩阵乘法。将所有步骤的 E i j E_{ij} Eij 结合成一个消元矩阵 E E E。了解每一个 E i j E_{ij} Eij 如何变成逆矩阵 ( E i j ) − 1 (E_{ij})^{-1} (Eij)−1。组合所有的逆矩阵 ( E i j ) − 1 (E_{ij})^{-1} (Eij)−1 右序变成 L L L。 L L L 的特殊性质是其所有的乘数 l i j l_{ij} lij 都是有序的这些乘数在 E E E 中是混乱的从 A A A 到 U U U 的前向消元在 L L L 中撤销消元从 U U U 返回到 A A A会变得有序。反向可以让这些步骤与矩阵 ( E i j ) − 1 (E_{ij})^{-1} (Eij)−1 落在反向序列中防止混乱。
二、矩阵乘向量 Ax b
上节的例题 3 × 3 3\times3 3×3 的方程组可以简写乘矩阵的形式 A x b A\boldsymbol x\boldsymbol b Axb 2 x 1 4 x 2 − 2 x 3 2 4 x 1 9 x 2 − 3 x 3 8 − 2 x 1 − 3 x 2 7 x 3 10 等价于 [ 2 4 − 2 4 9 − 3 − 2 − 3 7 ] [ x 1 x 2 x 3 ] [ 2 8 10 ] ( 2.3.1 ) \begin{matrix}2x_14x_2-2x_32\\4x_19x_2-3x_38\\-2x_1-3x_27x_310\end{matrix}\kern 6pt等价于\kern 6pt\begin{bmatrix}\kern 7pt2\kern 7pt4-2\\\kern 7pt4\kern 7pt9-3\\-2-3\kern 7pt7\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2\\8\\10\end{bmatrix}\kern 10pt(2.3.1) 2x14x2−2x324x19x2−3x38−2x1−3x27x310等价于 24−249−3−2−37 x1x2x3 2810 (2.3.1)左侧的 9 9 9 个数字组成矩阵 A A A矩阵 A A A 乘 x \boldsymbol x x 得到三个方程。 A A A 乘 x \boldsymbol x x 复习矩阵乘向量得到向量。当方程的数目和未知数的数目相等时矩阵为方阵。方阵通常表示为 n × n n\times n n×n。向量 x \boldsymbol x x 在 n n n 维空间。 未知数是 x [ x 1 x 2 x 3 ] 解是 x [ − 1 2 2 ] 未知数是\kern 5pt\boldsymbol x\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}\kern 10pt解是\kern 5pt\boldsymbol x\begin{bmatrix}-1\\\kern 7pt2\\\kern 7pt2\end{bmatrix} 未知数是x x1x2x3 解是x −122 重点 A x b A\boldsymbol x\boldsymbol b Axb 表示方程的行形式也表示列形式 列形式 A x ( − 1 ) [ 2 4 − 2 ] 2 [ 4 9 − 3 ] 2 [ − 2 − 3 7 ] [ 2 8 10 ] b ( 2.3.2 ) 列形式\kern 10ptA\boldsymbol x(-1)\begin{bmatrix}\kern 7pt2\\\kern 7pt4\\-2\end{bmatrix}2\begin{bmatrix}\kern 7pt4\\\kern 7pt9\\-3\end{bmatrix}2\begin{bmatrix}-2\\-3\\\kern 7pt7\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2\\8\\10\end{bmatrix}\boldsymbol b\kern 10pt(2.3.2) 列形式Ax(−1) 24−2 2 49−3 2 −2−37 2810 b(2.3.2) A x A\boldsymbol x Ax 是 A A A 列的线性组合要计算 A x A\boldsymbol x Ax 的分量时可以使用矩阵乘法的行形式 A x A\boldsymbol x Ax 的分量就是 x \boldsymbol x x 与 A A A 每行的点积。可以使用累加表示 A x 的第一分量 ( − 1 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 4 ) ( 2 ) ( − 2 ) A x 第 i 分量 ( row i ) ⋅ x a i 1 x 1 a i 2 x 2 ⋯ a i n x n A\boldsymbol x\,的第一分量(-1)(2)(2)(4)(2)(-2)\kern 48pt\\A\boldsymbol x\,第 \,i\,分量(\textrm{row}\,\,i)\cdot\boldsymbol xa_{i1}x_1a_{i2}x_2\cdotsa_{in}x_n Ax的第一分量(−1)(2)(2)(4)(2)(−2)Ax第i分量(rowi)⋅xai1x1ai2x2⋯ainxn符号记为 ∑ j 1 n a i j x j \sum_{j1}^{n}a_{ij}x_j ∑j1naijxj ∑ \sum ∑ 表示累加从 j 1 j1 j1 开始到 j n jn jn 结束从 a i 1 x 1 a_{i1}x_1 ai1x1 开始一直累加到 a i n x n a_{in}x_n ainxn得到点积 ( row i ) ⋅ x (\textrm{row}\,\,i)\cdot\boldsymbol x (rowi)⋅x 。 矩阵表示法第 1 行第 1 列的元素左上角是 a 11 a_{11} a11第 1 行第 3 列的元素是 a 13 a_{13} a13第 3 行第 1 列的元素是 a 31 a_{31} a31行数在前列数在后。一般规则 a i j A ( i , j ) a_{ij}A(i,j) aijA(i,j)位置在第 i i i 行 j j j 列。
【例1】矩阵有 a i j 2 i j a_{ij}2ij aij2ij则 a 11 3 , a 12 4 , a 21 5 a_{11}3,a_{12}4,a_{21}5 a113,a124,a215。下面是由行得到 A x A\boldsymbol x Ax分别用数字和字母表示 [ 3 4 5 6 ] [ 2 1 ] [ 3 ⋅ 2 4 ⋅ 1 5 ⋅ 2 6 ⋅ 1 ] [ a 11 a 12 a 21 a 22 ] [ x 1 x 2 ] [ a 11 x 1 a 12 x 2 a 21 x 1 a 22 x 2 ] \begin{bmatrix}34\\56\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3\cdot24\cdot1\\5\cdot26\cdot1\end{bmatrix}\kern 15pt\begin{bmatrix}a_{11}a_{12}\\a_{21}a_{22}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_{11}x_1a_{12}x_2\\a_{21}x_1a_{22}x_2\end{bmatrix} [3546][21][3⋅24⋅15⋅26⋅1][a11a21a12a22][x1x2][a11x1a12x2a21x1a22x2]
三、一个消元步骤的矩阵形式
方程 A x b A\boldsymbol x\boldsymbol b Axb从第二个式子中减去 2 2 2 乘第一个式子在右侧 b \boldsymbol b b 的第二个分量减去 2 2 2 乘第一个分量 第一步 b [ 2 8 10 ] 变为 b new [ 2 4 10 ] 第一步\kern 10pt\boldsymbol b\begin{bmatrix}2\\8\\10\end{bmatrix}\kern 10pt变为\kern 10pt\boldsymbol b_{\textrm {new}}\begin{bmatrix}2\\4\\10\end{bmatrix} 第一步b 2810 变为bnew 2410 若使用矩阵形式实现上述步骤则需要一个消元矩阵 E E E 乘 b \boldsymbol b b 得到 b new E b \boldsymbol b_{\textrm{new}}E\boldsymbol b bnewEb从 b 2 b_2 b2 减去 2 b 1 2b_1 2b1 消元矩阵 E [ 1 0 0 − 2 1 0 0 0 1 ] 消元矩阵\kern 10ptE\begin{bmatrix}\kern 7pt100\\-210\\\kern 7pt001\end{bmatrix} 消元矩阵E 1−20010001 用 E E E 乘的结果是使得第 2 2 2 行减去 2 2 2 乘第 1 1 1 行而第 1 、 3 1、3 1、3 行保持不变 [ 1 0 0 − 2 1 0 0 0 1 ] [ 2 8 10 ] [ 2 4 10 ] [ 1 0 0 − 2 1 0 0 0 1 ] [ b 1 b 2 b 3 ] [ b 1 b 2 − 2 b 1 b 3 ] \begin{bmatrix}\kern 7pt100\\-210\\\kern 7pt001\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2\\8\\10\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2\\4\\10\end{bmatrix}\kern 10pt\begin{bmatrix}\kern 7pt100\\-210\\\kern 7pt001\end{bmatrix}\begin{bmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}b_1\\b_2-2b_1\\b_3\end{bmatrix} 1−20010001 2810 2410 1−20010001 b1b2b3 b1b2−2b1b3 E E E 的第 1 、 3 1、3 1、3 行是来自于单位矩阵 I I I它们不会改变第一和第三分量新的第二个分量 4 4 4 是消元之后出现的即 b 2 − 2 b 1 b_2-2b_1 b2−2b1。 消元矩阵 E E E 是将单位矩阵 I I I 其中的一个 0 0 0 变为乘数 − l -l −l。 单位矩阵对角线上的元素都是 1 1 1其余的元素全为 0 0 0。对于任意的 b \boldsymbol b b 都有 I b b I\boldsymbol b\boldsymbol b Ibb。消元矩阵 E i j E_{ij} Eij 在 i , j i,j i,j 位置处多了一个非零元素 − l -l −l被 E i j E_{ij} Eij 乘会使得第 i i i 行减去 l l l 乘第 j j j 行。 【例2】矩阵 E 31 E_{31} E31 的位置 3 , 1 3,1 3,1 是 − l -l −l 单位矩阵 I [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] 消元矩阵 E 31 [ 1 0 0 0 1 0 − l 0 1 ] 单位矩阵\kern 10ptI\begin{bmatrix}100\\010\\001\end{bmatrix}\kern 10pt消元矩阵\kern 5ptE_{31}\begin{bmatrix}\kern 7pt100\\\kern 7pt010\\-l01\end{bmatrix} 单位矩阵I 100010001 消元矩阵E31 10−l010001 I I I 乘 b \boldsymbol b b 仍然得到 b \boldsymbol b b但是 E 31 E_{31} E31 乘 b \boldsymbol b b 会从 b \boldsymbol b b 的第三分量减去 l l l 乘第一分量。当 l 4 l4 l4 时第三分量为 9 − 4 5 9-45 9−45 I b [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] [ 1 3 9 ] [ 1 3 9 ] E 31 b [ 1 0 0 0 1 0 − 4 0 1 ] [ 1 3 9 ] [ 1 3 5 ] I\boldsymbol b\begin{bmatrix}100\\010\\001\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\3\\9\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\3\\9\end{bmatrix}\kern 10ptE_{31}\boldsymbol b\begin{bmatrix}100\\010\\-401\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\3\\9\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\3\\5\end{bmatrix} Ib 100010001 139 139 E31b 10−4010001 139 135 A x b A\boldsymbol x\boldsymbol b Axb 进行消元时两侧都会被 E 31 E_{31} E31 乘 E 31 E_{31} E31 的目的是在矩阵 ( 3 , 1 ) (3,1) (3,1) 位置处产生 0 0 0。 进行消元时从矩阵 A A A 开始需要使用多个 E E E 使得主元下方位置都产生 0 0 0第一个 E E E 是 E 21 E_{21} E21最终得到三角形 U U U。 消元过程中向量 x \boldsymbol x x 不会变化解 x \boldsymbol x x 也不会因消元而改变。只有系数矩阵会改变。若 A x b A\boldsymbol x\boldsymbol b Axb则 E A x E b EA\boldsymbol xE\boldsymbol b EAxEb新矩阵 E A EA EA 是 E E E 乘 A A A 的结果。
四、矩阵乘法
两个矩阵如何相乘若第一个矩阵是 E E E目标是 E A EA EA E E E 会使得 A A A 的行 2 2 2 减去 2 2 2 乘行 1 1 1乘数是 2 2 2 E A [ 1 0 0 − 2 1 0 0 0 1 ] [ 2 4 − 2 4 9 − 3 − 2 − 3 7 ] [ 2 4 − 2 0 1 1 − 2 − 3 7 ] ( 得到一个零 ) ( 2.3.3 ) EA\begin{bmatrix}\kern 7pt100\\-210\\\kern 7pt001\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\kern 7pt2\kern 7pt4-2\\\kern 7pt4\kern 7pt9-3\\-2-3\kern 7pt7\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\kern 7pt2\kern 7pt4-2\\\kern 7pt\textbf0\kern 7pt\textbf1\kern 7pt\textbf1\\-2-3\kern 7pt7\end{bmatrix}\kern 5pt(得到一个零)\kern 10pt(2.3.3) EA 1−20010001 24−249−3−2−37 20−241−3−217 (得到一个零)(2.3.3)这个步骤没有改变 A A A 的行 1 1 1 和行 3 3 3它们在 E A EA EA 中保持不变只改变了行 2 2 2行 2 2 2 减去了行 1 1 1 的 2 2 2 倍。矩阵乘法与消元法达成了相同的目的新的系统为 E A x E b EA\boldsymbol xE\boldsymbol b EAxEb。 E A x EA\boldsymbol x EAx 虽然简单确含有一个巧妙的思想。从 A x b A\boldsymbol x\boldsymbol b Axb 开始两边同时用 E E E 乘得到 E ( A x ) E b E(A\boldsymbol x)E\boldsymbol b E(Ax)Eb。使用矩阵乘法也是 ( E A ) x E b (EA)\boldsymbol xE\boldsymbol b (EA)xEb。
第一个是 E E E 乘 A x A\boldsymbol x Ax第二个是 E A EA EA 乘 x \boldsymbol x x它们是相同的。
括号不需要了可直接写成 E A x EA\boldsymbol x EAx。 这个规律可以扩展至有多个列向量的矩阵 C C C计算 E A C EAC EAC 可以先算 A C AC AC也可以先算 E A EA EA这个规律就是结合律。 注意通常情况下 E A EA EA 不等于 A E AE AE。当 E E E 乘在右侧时它作用于 A A A 的列而不是行。 A E AE AE 会使得 A A A 的列 1 1 1 减去 2 2 2 乘列 2 2 2 结合律正确 A ( B C ) ( A B ) C 交换律错误 通常 A B ≠ B A 结合律正确\kern 10ptA(BC)(AB)C\\交换律错误\kern 10pt通常AB\neq BA\kern 12pt 结合律正确A(BC)(AB)C交换律错误通常ABBA矩阵乘法还有另外一个要求假设 B B B 只有一列列 b \boldsymbol b b矩阵 - 矩阵相乘 E B EB EB 应和矩阵 - 向量相乘的法则一致。甚至矩阵乘法 E B EB EB 可以一次乘一列 如果 B B B 有多个列 b 1 , b 2 , b 3 b_1,b_2,b_3 b1,b2,b3则 E B EB EB 的列为 E b 1 , E b 2 , E b 3 Eb_1,Eb_2,Eb_3 Eb1,Eb2,Eb3。 矩阵乘法 E B E [ b 1 , b 2 , b 3 ] [ E b 1 , E b 2 , E b 3 ] ( 2.3.4 ) 矩阵乘法\kern 10ptEBE[b_1,b_2,b_3][Eb_1,Eb_2,Eb_3]\kern 15pt(2.3.4) 矩阵乘法EBE[b1,b2,b3][Eb1,Eb2,Eb3](2.3.4)对于式2.3.3也可以使用这项性质。 E E E 乘 A A A 的列 3 3 3也可以得到正确的 E A EA EA 的列 3 3 3 [ 1 0 0 − 2 1 0 0 0 1 ] [ − 2 − 3 7 ] [ − 2 1 7 ] E ( A 的列 j ) E A 的列 j \begin{bmatrix}\kern 7pt100\\-210\\\kern 7pt001\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-2\\-3\\\kern 7pt7\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-2\\\kern 7pt1\\\kern 7pt7\end{bmatrix}\kern 10ptE(A的列\kern 1ptj)EA\,的列\,j 1−20010001 −2−37 −217 E(A的列j)EA的列j矩阵乘法有三种处理方式行、列、整个矩阵都可以得到正确的结果。
五、行交换矩阵 P i j P_{ij} Pij
从行 i i i 减去行 j j j 使用 E i j E_{ij} Eij交换或置换这些行使用另外一种矩阵 P i j P_{ij} Pij置换矩阵。如果主元位置出现零时那么就需要行交换往下方看主元这一列可能存在非零数字交换这两行就有主元了消元也可以继续进行。 置换矩阵 P 23 P_{23} P23 可以交换行 2 2 2 与行 3 3 3将单位矩阵的行 2 2 2 与行 3 3 3 交换就可得到 P 23 P_{23} P23 置换矩阵 P 23 [ 1 0 0 0 0 1 0 1 0 ] 置换矩阵\kern 10ptP_{23}\begin{bmatrix}100\\001\\010\end{bmatrix} 置换矩阵P23 100001010 这个就是行交换矩阵。 P 23 P_{23} P23 乘任意的列向量都会使其第二分量和第三分量交换因此也可以交换矩阵的行 2 2 2 与行 3 3 3 [ 1 0 0 0 0 1 0 1 0 ] [ 1 3 5 ] [ 1 5 3 ] , [ 1 0 0 0 0 1 0 1 0 ] [ 2 4 1 0 0 3 0 6 5 ] [ 2 4 1 0 6 5 0 0 3 ] \begin{bmatrix}100\\001\\010\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\3\\5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\5\\3\end{bmatrix},\kern 13pt\begin{bmatrix}100\\001\\010\end{bmatrix}\begin{bmatrix}241\\003\\065\end{bmatrix}\begin{bmatrix}241\\065\\003\end{bmatrix} 100001010 135 153 , 100001010 200406135 200460153 P 23 P_{23} P23 交换了行 2 2 2 与行 3 3 3使得主元的位置从 0 0 0 变成了 6 6 6。 置换矩阵可以交换行的顺序。例如行 1 , 2 , 3 1,2,3 1,2,3 可以变为行 3 , 1 , 2 3,1,2 3,1,2。 行交换矩阵 单位矩阵的行 i i i 与 j j j 交换顺序可以得到 P i j P_{ij} Pij。当置换矩阵 P i j P_{ij} Pij 乘一个矩阵时则该矩阵交换行 i i i 与行 j j j。 交换方程 1 与方程 3 左边乘上 P 13 [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] 交换方程\,1\,与方程\,3左边乘上 P_{13}\begin{bmatrix}100\\010\\001\end{bmatrix} 交换方程1与方程3左边乘上P13 100010001 一般来说要将主元移至对角线时需要用到置换矩阵。
六、增广矩阵
下面是一个矩形矩阵也是来源于原始方程但是包括了右侧的 b \boldsymbol b b。 关键点消元法对于 A A A 与 b \boldsymbol b b 有相同的行操作我们可以将 b \boldsymbol b b 当做一个额外的列一起进行消元。额外列 b \boldsymbol b b 加入后矩阵 A A A 就变大了称为增广augmented矩阵 增广矩阵 [ A b ] [ 2 4 − 2 2 4 9 − 3 8 − 2 − 3 7 10 ] \pmb{增广矩阵}\kern 5pt[A\kern 6pt\boldsymbol b]\begin{bmatrix}\kern 7pt2\kern 7pt4-2\pmb2\\\kern 7pt4\kern 7pt9-3\pmb8\\-2-3\kern 7pt7\pmb{10}\end{bmatrix} 增广矩阵[Ab] 24−249−3−2−372810 消元法作用于矩阵的整个行 E E E 同时乘上左侧和右侧得到方程 2 2 2 减去 2 2 2 乘方程 1 1 1这个步骤同时发生在 [ E b ] [E\kern 6pt\boldsymbol b] [Eb] [ 1 0 0 − 2 1 0 0 0 1 ] [ 2 4 − 2 2 4 9 − 3 8 − 2 − 3 7 10 ] [ 2 4 − 2 2 0 1 1 4 − 2 − 3 7 10 ] \begin{bmatrix}\kern 7pt100\\-210\\\kern 7pt001\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\kern 7pt2\kern 7pt4-22\\\kern 7pt4\kern 7pt9-38\\-2-3\kern 7pt710\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\kern 7pt2\kern 7pt4-22\\\kern 7pt0\kern 7pt1\kern 7pt14\\-2-3\kern 7pt710\end{bmatrix} 1−20010001 24−249−3−2−372810 20−241−3−2172410 新的第二行包含 0 , 1 , 1 , 4 0,1,1,4 0,1,1,4新的方程 2 2 2 为 x 2 x 3 4 x_2x_34 x2x34。矩阵乘法同时作用于行和列 行 E 的每一行作用在 [ A b ] 得到 [ E A E b ] 的一行 列 E 作用于 [ A b ] 的每一列得到 [ E A E b ] 的一列 \pmb{行}E\,的每一行作用在[A\kern 6pt\boldsymbol b]得到 [EA\kern 6ptE\boldsymbol b]的一行\\\pmb{列}E作用于 [A\kern 6pt\boldsymbol b]的每一列得到[EA\kern 6ptE\boldsymbol b]的一列 行E的每一行作用在[Ab]得到[EAEb]的一行列E作用于[Ab]的每一列得到[EAEb]的一列注意作用act的意义。矩阵 A A A 作用于 x \boldsymbol x x 得到 b \boldsymbol b b。矩阵 E E E 作用于 A A A 得到 E A EA EA。消元法的过程就是一系列的行运算也是矩阵乘法。从 A A A 到 E 21 A E_{21}A E21A再到 E 31 E 21 A E_{31}E_{21}A E31E21A最后是 E 32 E 31 E 21 A E_{32}E_{31}E_{21}A E32E31E21A它是个三角矩阵。 方程右侧的引入形成了增广矩阵最后结果是一个方程的三角形系统。
七、主要内容总结 A x ( x 1 乘列 1 ) ⋯ ( x n 乘列 n ) A\boldsymbol x(x_1乘列\,1)\cdots(x_n乘列\,n) Ax(x1乘列1)⋯(xn乘列n) ( A x ) i ∑ j 1 n a i j x j (A\boldsymbol x)_i\sum_{j1}^{n}a_{ij}x_j (Ax)i∑j1naijxj。 单位矩阵 I 单位矩阵I 单位矩阵I 消元矩阵 E i j , 使用乘数 l 21 消元矩阵E_{ij},使用乘数\,l_{21} 消元矩阵Eij,使用乘数l21 置换矩阵 P i j 置换矩阵P_{ij} 置换矩阵Pij。 E 21 E_{21} E21 乘 A x b A\boldsymbol x\boldsymbol b Axb得到方程 2 2 2 减去 l 21 l_{21} l21 乘方程 1 1 1。 − l 21 -l_{21} −l21 是消元矩阵 E 21 E_{21} E21 在位置 ( 2 , 1 ) (2,1) (2,1) 处的元素。增广矩阵 [ A b ] \begin{bmatrix}A\boldsymbol b\end{bmatrix} [Ab]消元步骤得到 [ E 21 A E 21 b ] \begin{bmatrix}E_{21}AE_{21}\boldsymbol b\end{bmatrix} [E21AE21b]。 A A A 乘任意矩阵 B B B等于 A A A 分别乘 B B B 的每一列。
八、例题
【例3】什么样的 3 × 3 3\times3 3×3 矩阵 E 21 E_{21} E21 使得矩阵 A A A 的行 2 2 2 减去 4 4 4 乘行 1 1 1什么样的矩阵 P 32 P_{32} P32 交换矩阵 A A A 的行 2 2 2 与行 3 3 3如果对矩阵 A A A 右乘而不是左乘描述 A E 21 AE_{21} AE21 与 A P 32 AP_{32} AP32 的结果 解 对单位矩阵 I I I 执行一些运算可得 E 21 [ 1 0 0 − 4 1 0 0 0 1 ] , P 32 [ 1 0 0 0 0 1 0 1 0 ] E_{21}\begin{bmatrix}\kern 7pt100\\-410\\\kern 7pt001\end{bmatrix},\kern 15ptP_{32}\begin{bmatrix}100\\001\\010\end{bmatrix} E21 1−40010001 ,P32 100001010 E 21 E_{21} E21 乘在矩阵 A A A 的右侧使得 A A A 的列 1 1 1 减去 4 4 4 乘列 2 2 2 P 32 P_{32} P32 乘在右侧会交换列 2 2 2 与 列 3 3 3。
【例4】写出下面方程组的增广矩阵 [ A b ] \begin{bmatrix}A\boldsymbol b\end{bmatrix} [Ab] x 2 y 2 z 1 4 x 8 y 9 z 3 3 y 2 z 1 \kern 4ptx2y2z1\\4x8y9z3\\\kern 24pt3y2z1 x2y2z14x8y9z33y2z1使用 E 21 E_{21} E21 和 P 32 P_{32} P32 得到三角形系统。用回代求解方程组。组合矩阵 P 32 E 21 P_{32}E_{21} P32E21 一次做了那些工作 解 E 21 E_{21} E21 使列 1 1 1 的 4 4 4 变为 0 0 0但是 0 0 0 也出现在了列 2 2 2 [ A b ] [ 1 2 2 1 4 8 9 3 0 3 2 1 ] , E 21 [ A b ] [ 1 2 2 1 0 0 1 − 1 0 3 2 1 ] \begin{bmatrix}A\boldsymbol b\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1221\\\pmb4893\\0321\end{bmatrix},\kern 10ptE_{21}\begin{bmatrix}A\boldsymbol b\end{bmatrix}\begin{bmatrix}122\kern 7pt1\\\pmb0\pmb01-1\\032\kern 7pt1\end{bmatrix} [Ab] 140283292131 ,E21[Ab] 1002032121−11 P 32 P_{32} P32 交换行 2 2 2 与行 3 3 3回代可以求出解 z , y , x z,y,x z,y,x P 32 E 21 [ A b ] [ 1 2 2 1 0 3 2 1 0 0 1 − 1 ] , [ x y z ] [ 1 1 − 1 ] P_{32}E_{21}\begin{bmatrix}A\boldsymbol b\end{bmatrix}\begin{bmatrix}122\kern 7pt1\\032\kern 7pt1\\001-1\end{bmatrix},\kern 10pt\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\kern 7pt1\\\kern 7pt1\\-1\end{bmatrix} P32E21[Ab] 10023022111−1 , xyz 11−1 组合矩阵 P 32 E 21 P_{32}E_{21} P32E21 可以同时完成两个步骤 P 32 P_{32} P32 作用于 E 21 E_{21} E21 一个矩阵 两个步骤 P 32 E 21 E 21 交换行 2 与行 3 [ 1 0 0 0 0 1 − 4 1 0 ] \begin{matrix}\pmb{一个矩阵}\\\pmb{两个步骤}\end{matrix}\kern 10ptP_{32}E_{21}E_{21}交换行\,2与行\,3\begin{bmatrix}\kern 7pt100\\\kern 7pt001\\-410\end{bmatrix} 一个矩阵两个步骤P32E21E21交换行2与行3 10−4001010 【例5】矩阵乘法有两种方式。第一 A A A 的行乘 B B B 的列第二 A A A 的列乘 B B B 的行这个不寻常的方法会产生两个矩阵相加后得到 A B AB AB。两种方法各需要多少次乘法 两种方法 A B [ 3 4 1 5 2 0 ] [ 2 4 1 1 ] [ 10 16 7 9 4 8 ] \pmb{两种方法}\kern 10ptAB\begin{bmatrix}34\\15\\20\end{bmatrix}\begin{bmatrix}24\\11\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1016\\79\\48\end{bmatrix} 两种方法AB 312450 [2141] 10741698 解 A A A 的行乘 B B B 的列是向量的点积 ( row 1 ) ⋅ ( column 1 ) [ 3 4 ] [ 2 1 ] 10 是 A B 在 ( 1 , 1 ) 处的元素 ( row 2 ) ⋅ ( column 1 ) [ 1 5 ] [ 2 1 ] 7 是 A B 在 ( 2 , 1 ) 处的元素 (\textrm{row}\,1)\cdot(\textrm{column}\,1)\begin{bmatrix}34\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}10\kern 7pt是\,AB\,在(1,1)处的元素\\(\textrm{row\,2})\cdot(\textrm{column}\,1)\begin{bmatrix}15\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}7\kern 13pt是\,AB\,在(2,1)处的元素 (row1)⋅(column1)[34][21]10是AB在(1,1)处的元素(row2)⋅(column1)[15][21]7是AB在(2,1)处的元素总共要做 6 6 6 个点积每个有 2 2 2 次乘法总共需要 ( 3 ⋅ 2 ⋅ 2 ) 12 (3\cdot2\cdot2)12 (3⋅2⋅2)12 次乘法。 A B AB AB 也可以是 A A A 的列乘 B B B 的行一列乘一行是一个矩阵也是 12 12 12 次乘法 A B [ 3 1 2 ] [ 2 4 ] [ 4 5 0 ] [ 1 1 ] [ 6 12 2 4 4 8 ] [ 4 4 5 5 0 0 ] AB\begin{bmatrix}3\\1\\2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}24\end{bmatrix}\begin{bmatrix}4\\5\\0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}11\end{bmatrix}\begin{bmatrix}612\\24\\48\end{bmatrix}\begin{bmatrix}44\\55\\00\end{bmatrix} AB 312 [24] 450 [11] 6241248 450450
