网站店铺vr场景可以做吗,动漫网站设计论文,烟台市科技局网站,中国纪检监察报电子报刊#188. 【UR #13】Sanrd
题意化简就是求次小质因子#xff0c;这一步我们可以在Min_25筛的ans计算中得到#xff0c;
S(n, j)表示的是最小质因子大于等于primejprime_jprimej的加上质数的答案贡献#xff0c;
要满足次小质因子#xff0c;一定有除去这个数之后只剩下质…#188. 【UR #13】Sanrd
题意化简就是求次小质因子这一步我们可以在Min_25筛的ans计算中得到
S(n, j)表示的是最小质因子大于等于primejprime_jprimej的加上质数的答案贡献
要满足次小质因子一定有除去这个数之后只剩下质数了显然当我们计算到S(n, j)时我们可以计算primej−1prime_{j - 1}primej−1对答案的贡献
接着我们还需要加上质数的次方项对答案的贡献最后我们就可以得到答案了。
/*Author : lifehappy
*/
#pragma GCC optimize(2)
#pragma GCC optimize(3)
#include bits/stdc.h#define mp make_pair
#define pb push_back
#define endl \n
#define mid (l r 1)
#define lson rt 1, l, mid
#define rson rt 1 | 1, mid 1, r
#define ls rt 1
#define rs rt 1 | 1using namespace std;typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pairint, int pii;const double pi acos(-1.0);
const double eps 1e-7;
const int inf 0x3f3f3f3f;inline ll read() {ll f 1, x 0;char c getchar();while(c 0 || c 9) {if(c -) f -1;c getchar();}while(c 0 c 9) {x (x 1) (x 3) (c ^ 48);c getchar();}return f * x;
}const int N 1e6 10;namespace Min_25 {int prime[N], id1[N], id2[N], m, cnt, T;ll a[N], g[N], sum[N], f[N], n;bool st[N];int ID(ll x) {return x T ? id1[x] : id2[n / x];}void init() {cnt m 0;T sqrt(n 0.5);for(int i 2; i T; i) {if(!st[i]) {prime[cnt] i;sum[cnt] sum[cnt - 1] 1;}for(int j 1; j cnt 1ll * i * prime[j] T; j) {st[i * prime[j]] 1;if(i % prime[j] 0) {break;}}}for(ll l 1, r; l n; l r 1) {r n / (n / l);a[m] n / l;if(a[m] T) id1[a[m]] m;else id2[n / a[m]] m;g[m] a[m] - 1;}for(int j 1; j cnt; j) {for(int i 1; i m 1ll * prime[j] * prime[j] a[i]; i) {g[i] - g[ID(a[i] / prime[j])] - sum[j - 1];}}for(int i 1; i T; i) {st[i] 0;}}ll solve(ll n, int m) {if(n prime[m]) return 0;ll ans 1ll * prime[m - 1] * (g[ID(n)] - sum[m - 1]);for(int j m; j cnt 1ll * prime[j] * prime[j] n; j) {for(ll i prime[j]; i * prime[j] n; i * prime[j]) {ans solve(n / i, j 1) prime[j];}}return ans;}ll solve(ll x) {if(x 1) return 0;n x;init();return solve(x, 1);}
}int main() {// freopen(in.txt, r, stdin);// freopen(out.txt, w, stdout);// ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);ll l read(), r read();cout Min_25::solve(r) - Min_25::solve(l - 1) endl;return 0;
}#572. 「LibreOJ Round #11」Misaka Network 与求和
推式子
∑i1n∑j1nf(gcd(i,j))k∑d1nf(d)k∑i1nd∑j1nd[gcd(i,j)1]∑d1nf(d)k∑K1ndμ(k)(nKd)2tKd∑t1n(nt)2∑d∣tf(d)kμ(td)我们记f(x)kF(x)上面式子后半部分是一个迪利克雷卷积形式:F∗μ所以我们卷上一个I有F∗μ∗IF∗ϵF得到后半部分的前缀和S(n)∑i1nF(i)−∑i2nS(ni)\sum_{i 1} ^{n} \sum_{j 1} ^{n} f(gcd(i, j)) ^ k\\ \sum_{d 1} ^{n} f(d) ^k \sum_{i 1} ^{\frac{n}{d}} \sum_{j 1} ^{\frac{n}{d}}[gcd(i, j) 1]\\ \sum_{d 1} ^{n} f(d) ^k \sum_{K 1} ^{\frac{n}{d}} \mu(k) \left( \frac{n}{Kd} \right) ^2\\ t Kd\\ \sum_{t 1} ^{n} \left(\frac{n}{t} \right) ^ 2 \sum_{d \mid t} f(d) ^ k \mu(\frac{t}{d})\\ 我们记f(x) ^ k F(x)\\ 上面式子后半部分是一个迪利克雷卷积形式:F * \mu\\ 所以我们卷上一个I有F * \mu * I F * \epsilon F\\ 得到后半部分的前缀和S(n) \sum_{i 1} ^{n} F(i) - \sum_{i 2} ^{n} S(\frac{n}{i})\\ i1∑nj1∑nf(gcd(i,j))kd1∑nf(d)ki1∑dnj1∑dn[gcd(i,j)1]d1∑nf(d)kK1∑dnμ(k)(Kdn)2tKdt1∑n(tn)2d∣t∑f(d)kμ(dt)我们记f(x)kF(x)上面式子后半部分是一个迪利克雷卷积形式:F∗μ所以我们卷上一个I有F∗μ∗IF∗ϵF得到后半部分的前缀和S(n)i1∑nF(i)−i2∑nS(in)
化简到这里只需要跟上面一题类似用Min_25求∑i1nF(i)\sum\limits_{i 1} ^{n} F(i)i1∑nF(i)然后用杜教筛求S(n)S(n)S(n)即可得到答案。
代码
/*Author : lifehappy
*/
#pragma GCC optimize(2)
#pragma GCC optimize(3)
#include bits/stdc.h#define mp make_pair
#define pb push_back
#define endl \n
#define mid (l r 1)
#define lson rt 1, l, mid
#define rson rt 1 | 1, mid 1, r
#define ls rt 1
#define rs rt 1 | 1using namespace std;typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pairint, int pii;const double pi acos(-1.0);
const double eps 1e-7;
const int inf 0x3f3f3f3f;inline ll read() {ll f 1, x 0;char c getchar();while(c 0 || c 9) {if(c -) f -1;c getchar();}while(c 0 c 9) {x (x 1) (x 3) (c ^ 48);c getchar();}return f * x;
}#define uint unsigned intconst int N 1e6 10;uint quick_pow(uint a, int n) {uint ans 1;while(n) {if(n 1) ans ans * a;a a * a;n 1;}return ans;
}namespace Min_25 {uint prime[N], g[N], sum[N], f[N];int a[N], id1[N], id2[N], n, m, k, cnt, T;bool st[N];int ID(int x) {return x T ? id1[x] : id2[n / x];}void init() {cnt m 0;T sqrt(n 0.5);for(int i 2; i T; i) {if(!st[i]) {prime[cnt] i;f[cnt] quick_pow(i, k);sum[cnt] sum[cnt - 1] 1;}for(int j 1; j cnt 1ll * i * prime[j] T; j) {st[i * prime[j]] 1;if(i % prime[j] 0) {break;}}}for(ll l 1, r; l n; l r 1) {r n / (n / l);a[m] n / l;if(a[m] T) id1[a[m]] m;else id2[n / a[m]] m;g[m] a[m] - 1;}for(int j 1; j cnt; j) {for(int i 1; i m 1ll * prime[j] * prime[j] a[i]; i) {g[i] - g[ID(a[i] / prime[j])] - sum[j - 1];}}for(int i 1; i T; i) {st[i] 0;}}uint solve(int n, int m) {if(n prime[m] || n 1) return 0;uint ans f[m - 1] * (g[ID(n)] - sum[m - 1]);for(int j m; j cnt 1ll * prime[j] * prime[j] n; j) {for(ll i prime[j]; i * prime[j] n; i * prime[j]) {ans solve(n / i, j 1) f[j];}}return ans;}uint solve(int n) {if(n 1) return 0;return solve(n, 1) g[ID(n)];}
}unordered_mapint, uint ans_s;uint S(int n) {if(ans_s.count(n)) return ans_s[n];uint ans Min_25::solve(n);for(uint l 2, r; l n; l r 1) {r n / (n / l);ans - (r - l 1) * S(n / l);}return ans_s[n] ans;
}int main() {// freopen(in.txt, r, stdin);// freopen(out.txt, w, stdout);// ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);uint n read(), k read();Min_25::n n, Min_25::k k;Min_25::init();uint ans 0;for(uint l 1, r; l n; l r 1) {r n / (n / l);ans (n / l) * (n / l) * (S(r) - S(l - 1));}cout ans endl;return 0;
}
