上海网站建设解决方案,巩义网站推广,做磁力网站,网站seo外链接电路中的复数与相量(Phasor) 文章目录 电路中的复数与相量(Phasor)1、概述2、复数定义3、复数计算规则4、电子领域的复数5、总结 复数是一种重要的数学工具#xff0c;广泛应用于包括电子学在内的许多物理领域。 这个概念可能看起来很奇怪#xff0c;但它们的操作很简单…电路中的复数与相量(Phasor) 文章目录 电路中的复数与相量(Phasor)1、概述2、复数定义3、复数计算规则4、电子领域的复数5、总结 复数是一种重要的数学工具广泛应用于包括电子学在内的许多物理领域。 这个概念可能看起来很奇怪但它们的操作很简单而且效率很高。 在第一部分中介绍了有关复数的一般概念以便熟悉它们的表示形式。 接下来的第二部分将列举一些与复数相关的最重要的定义。 在定义了一些关键概念之后第三部分将更详细地讨论它们的计算规则。 最后我们将了解为什么它们被用于电子领域并作为一种有效的工具简化计算。
1、概述
本节从纯数学的角度介绍复数及其关联的集合。 复数集记为 C \mathbb{C} C它是我们熟悉的通常实数集的扩展。 因此实数包含在复数中。
定义复数的起点是虚数单位 i i i在电子学中也记为 j j j以避免与电流混淆。 这个数字的定义如 j 2 − 1 j^2-1 j2−1在一些国家或机构中也可能遇到 j − 1 j\sqrt-1 j− 1的表示法。
实数可以在沿直线的一维空间中表示而复数可以在称为复平面的二维空间中表示。 该结构如下图1所示 图1复平面上复数的表示 我们先来谈谈复平面它由两个轴组成可以表示任何复数。 横轴是实数集纵轴是虚轴。
如图1所示复数 z z z 可以用表示坐标的两个实数 a a a 和 b b b 来描述也可以用距离 ∣ z ∣ |z| ∣z∣ 来描述。 和角度 θ \theta θ。 描述 z z z 的第一个选项称为代数形式在以下公式1中定义 公式1复数z的代数形式 强调一些特殊案例很有趣。 如果 b 0 b0 b0 z a za za表示复数化简为实数。 若 a 0 a0 a0 z j b zjb zjb则 z z z称为纯虚数。
定义 z z z的第二种方法称为极坐标或指数形式。 在给出这种形式的表达式之前我们需要了解 ∣ z ∣ |z| ∣z∣由什么组成。 和 θ \theta θ。 值 ∣ z ∣ |z| ∣z∣也称为模是复平面原点与复数之间的距离。 它由毕达哥拉斯定理定义如公式2所示 公式2模块的定义 θ \theta θ称为参数定义实轴和复数之间的角度。 除非 a 0 a0 a0 且 b 0 b0 b0 或 a 0 a0 a0 且 b 0 b0 b0否则始终可以使用以下公式计算参数 公式3参数定义 使用欧拉公式复数 z z z的极坐标描述由距离和角度给出并满足以下公式
公式4复数z的极坐标形式 2、复数定义
许多定义都与复数相关。
复杂代数中经常使用两个简单的运算符Re 和 Im。 假设一个复数 z a j b zajb zajb实部运算符Re 定义为 R e ( z ) a Re(z)a Re(z)a虚部运算符定义为 I m ( z ) b Im(z)b Im(z)b。 另一种更简单的确定复数参数 θ \theta θ的方法条件是 R e ( z ) 0 Re(z)0 Re(z)0由下式给出 θ arctan ( I m ( z ) / R e ( z ) ) θ\arctan(Im(z)/Re(z)) θarctan(Im(z)/Re(z))。
复共轭是另一个重要的定义广泛应用于复代数中。 复数 z z z的复共轭记为 z ∗ z^* z∗并且实部相同但虚部相反如果 z a j b zajb zajb则 z ∗ a − j b z^*a-jb z∗a−jb。 以指数形式如果 z ∣ z ∣ e j θ z|z|e^{j\theta} z∣z∣ejθ则 z ∗ ∣ z ∣ e − j θ z^*|z|e^{-j\theta} z∗∣z∣e−jθ。 复数共轭可以建立许多关系但最重要的一个是 z × z ∗ ∣ z ∣ 2 z \times z^*|z|^2 z×z∗∣z∣2。
在复平面中共轭运算转化为相对于实轴 的对称性 图2共轭变换 有趣的是如果 I m ( z ) 0 Im(z)0 Im(z)0则 z z ∗ zz^* zz∗ 实数的复共轭是该数本身。 而且共轭运算是可逆的 ( z ∗ ) ∗ z (z^*)^*z (z∗)∗z。
3、复数计算规则
两个复数 z 1 a 1 j b 1 z1a1jb1 z1a1jb1 和 z 2 a 2 j b 2 z2a2jb2 z2a2jb2 的加或减在于分别考虑实部和虚部 公式5两个复数相加 例如对于实数复数的乘法具有分配性在重新组合实部和虚部后如公式6 所示 公式6使用指数形式的乘法 然而使用代数形式进行复数除法运算比使用实数进行除法运算更加复杂。 让我们考虑一下之前定义的两个复数 z 1 z_1 z1 和 z 2 z_2 z2。 执行除法的技巧是将复数分母转换为实数分母。 为此我们将分子和分母都乘以分母复共轭如下所示 通过实现如前所示的乘法我们现在得到一个可以除以实分母的复数分子 公式8两个复数相除 下面假设$z_124j$ 和 $z_23j$复数除法计算$z_1 / z_2$如下 这个结果也可以写成指数形式 z 1 / z 2 2 e j π / 4 z_1/z_2\sqrt2e^{j\pi/4} z1/z22 ejπ/4。
正如我们强调的乘法运算除法可以使用指数形式更轻松地完成 公式9复数除法指数形式 可以用相同的例子来验证公式9。 首先我们需要计算 z 1 z_1 z1 和 z 2 z_2 z2 的模块和参数 ∣ z 1 ∣ 2 2 4 2 20 |z_1|\sqrt {2^24^2}\sqrt{20} ∣z1∣2242 20 θ 1 A r g ( z 1 ) arctan ( 4 / 2 ) arctan ( 2 ) \theta_1Arg(z_1)\arctan(4/2)\arctan(2) θ1Arg(z1)arctan(4/2)arctan(2) ∣ z 2 ∣ 3 2 1 2 10 |z_2|\sqrt{3^21^2}\sqrt{10} ∣z2∣3212 10 θ 2 A r g ( z 2 ) arctan ( 1 / 3 ) \theta_2Arg(z_2)\arctan(1/3) θ2Arg(z2)arctan(1/3)
模的除法给出 ∣ z 1 ∣ / ∣ z 2 ∣ 2 |z_1|/|z_2|\sqrt{2} ∣z1∣/∣z2∣2 除法的参数是 arctan ( 2 ) − arctan ( 1 / 3 ) π / 4 \arctan(2)-\arctan(1/3)\pi/4 arctan(2)−arctan(1/3)π/4。 因此除法的结果是 2 e j π / 4 \sqrt{2}e^{j\pi/4} 2 ejπ/4证实了我们之前使用代数形式计算的结果。
4、电子领域的复数
任何周期性信号例如电流或电压都可以使用复数来书写从而简化了符号和相关计算 公式10电压的复杂表示法 复数表示法还用于描述电容器和电感器的阻抗及其相移。 确实可以证明 Z C 1 / C ω Z_C1/C\omega ZC1/Cω 和 ϕ C − π / 2 \phi_C-\pi/2 ϕC−π/2 Z L L ω Z_LL\omega ZLLω 和 Φ L π / 2 Φ_Lπ/2 ΦLπ/2
由于 e ± j π / 2 ± j e^{±jπ/2}±j e±jπ/2±j复数阻抗 Z ∗ Z^* Z∗ 可以同时考虑相移以及电容器和电感器的电阻 Z C ∗ − j / C ω Z_C^*-j/C\omega ZC∗−j/Cω Z L ∗ j L ω Z_L^*jL\omega ZL∗jLω
我们可以将一个简单的 RLC 电路与其相关的复数阻抗 Z R Z_R ZR、 Z L Z_L ZL 和 Z C Z_C ZC 串联作为示例。 因此总复阻抗为 Z R L C Z R Z L Z C R j ( L ω − 1 / C ω ) Z_{RLC}Z_RZ_LZ_CRj(L\omega-1/C\omega) ZRLCZRZLZCRj(Lω−1/Cω)。 该阻抗的虚部称为电抗记为 X在此示例中 X R L C L ω − 1 / C ω X_{RLC}L\omega-1/C\omega XRLCLω−1/Cω。 我们可以区分三种情况来描述电路的行为 X 0 X0 X0 表示电路是纯电阻性的它充当电阻并遵循欧姆定律 X 0 X0 X0 电路是电容性的它充当电容并且倾向于对电压的任何变化产生抵抗。 X 0 X0 X0 电路是电感性的它充当电感并引起对电流的任何变化的反对。
RLC电路的总阻抗由 Z R L C Z_{RLC} ZRLC的模给出 ∣ Z R L C ∣ R 2 X R L C 2 |Z_{RLC}|\sqrt{R^2X_{RLC}^2} ∣ZRLC∣R2XRLC2 。
电压和电流之间的相移由 Z R L C Z_{RLC} ZRLC 的参数给出即 A r g ( Z R L C ) arctan ( X R L C / R ) Arg(Z_{RLC}) \arctan(X_{RLC}/R) Arg(ZRLC)arctan(XRLC/R)。
阻抗和相移都取决于信号的频率。 这种演变可以使用MatLab® 来表示下面图3所示其中选择的组件包括 R 1 k Ω R1 k\Omega R1kΩ、 L 10 m H L10mH L10mH C 20 μ F C20\mu F C20μF。 图3RLC串联电路的阻抗和相移 我们可以注意到首先该电路是电容性的因为它呈现负相移并在一定频率值后变为电感性。 此结论可以通过绘制图4中的电抗来验证其中显示负值和正值之间的转变发生在相同的特定频率下 图4RLC串联电路的电抗 这个特定频率 f 0 2235 / 2 π 356 H z f_02235/2\pi356Hz f02235/2π356Hz称为电路的谐振频率满足 X 0 X0 X0。 在我们的示例中 X R L C 0 ⇒ ω 0 1 / L C 2235 X_{RLC}0 ⇒ \omega 01/ \sqrt LC2235 XRLC0⇒ω01/L C2235图 4 中突出显示的值证实了这一点。
5、总结
复数已经出现了近 500 年并且是由高斯或柯西等一些最杰出的数学家建立的。 从那时起它们被用于许多科学领域例如电子学并且它是一个强大的工具。在第一部分中介绍了复数的概念。 复数集可以看作一个平面其中每个数字都可以通过坐标代数形式或距离和角度指数形式来定义。 复数具有可以解某些通常实数无法解的方程的性质例如方程 x^2-1$。 第二节介绍了一些更重要的概念例如共轭变换。计算规则在第三部分中介绍。 我们已经看到加法、减法和乘法与实数和复数非常相似。 然而除法运算需要更多步骤涉及共轭变换的使用。最后我们看到了如何在电子学中使用复数来描述周期性信号、阻抗并确定频率相关状态下的电路行为。
