邯郸手机建站价格,搭建网站赚钱吗,网站建设内容与实现功能,态网站设计文章目录 引力(*)分析两质点间的引力公式三重积分计算引力薄片情形计算例 引力(*)
这里讨论的是:空间一物体对于物体外一点 P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) P_{0}(x_0,y_0,z_0) P0(x0,y0,z0)处单位质量的质点的引力
分析
仍然使用元素法, 设占有空间有界闭区域 Ω \Omega … 文章目录 引力(*)分析两质点间的引力公式三重积分计算引力薄片情形计算例 引力(*)
这里讨论的是:空间一物体对于物体外一点 P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) P_{0}(x_0,y_0,z_0) P0(x0,y0,z0)处单位质量的质点的引力
分析
仍然使用元素法, 设占有空间有界闭区域 Ω \Omega Ω,在点 P ( x , y , z ) P(x,y,z) P(x,y,z)处的密度(体密度)为 ρ ( x , y , z ) \rho(x,y,z) ρ(x,y,z),并假定 ρ ( x , y , z ) \rho(x,y,z) ρ(x,y,z)在 Ω \Omega Ω上连续;在物体内任意取一直径很小的闭区域 d v \mathrm{d}v dv,其体积也记为 d v \mathrm{d}v dv P ( x , y , z ) P(x,y,z) P(x,y,z)是这一小块闭区域上的一个点,因为 d σ \mathrm{d}\sigma dσ的直径很小,且 ρ ( x , y , z ) \rho(x,y,z) ρ(x,y,z)在 D D D上连续,所以这一小块物体的质量 ρ d v \rho\mathrm{d}v ρdv近似看作集中在点 P P P上
两质点间的引力公式 设空间中两质点 P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) P_0(x_0,y_0,z_0) P0(x0,y0,z0)与 M ( x , y , z ) M(x,y,z) M(x,y,z),质量分别为 m 1 , m 2 m_1,m_2 m1,m2,两点间距离为 r r r ∣ P 0 M → |\overrightarrow{P_{0}M} ∣P0M ( x − x 0 ) 2 ( y − y 0 ) 2 ( z − z 0 ) 2 \sqrt{(x-x_0)^2(y-y_0)^2(z-z_0)^2} (x−x0)2(y−y0)2(z−z0)2 (1) 则 M M M对 P 0 P_0 P0的引力 ∣ F ∣ |\bold{F}| ∣F∣大小为 ∣ F ∣ |\bold F| ∣F∣ G m 1 m 2 r 2 G\frac{m_1m_2}{r^2} Gr2m1m2(2) 力是向量,这里 F \bold{F} F的方向为 P 0 M → \overrightarrow{P_{0}M} P0M ( x − x 0 , y − y 0 , z − z 0 ) {(x-x_0,y-y_0,z-z_0)} (x−x0,y−y0,z−z0)(3),该方向的方向余弦为 cos α \cos\alpha cosα x − x 0 r \frac{x-x_0}{r} rx−x0, cos β y − y 0 r \cos\beta\frac{y-y_0}{r} cosβry−y0, cos γ z − z 0 r \cos{\gamma}\frac{z-z_0}{r} cosγrz−z0(4) 从而 F \bold{F} F ( F x , F y , F z ) (\bold{F}_{x},\bold{F}_{y},\bold{F}_z) (Fx,Fy,Fz) ( ∣ F ∣ cos α , ∣ F ∣ cos β , ∣ F ∣ cos γ ) (|\bold F|\cos\alpha,|\bold F|\cos\beta,|\bold F|\cos\gamma) (∣F∣cosα,∣F∣cosβ,∣F∣cosγ) ( G m 1 m 2 ( x − x 0 ) r 3 , G m 1 m 2 ( y − y 0 ) r 3 , G m 1 m 2 ( z − z 0 ) r 3 ) (G\frac{m_1m_2(x-x_0)}{r^3},G\frac{m_1m_2(y-y_0)}{r^3},G\frac{m_1m_2(z-z_0)}{r^3}) (Gr3m1m2(x−x0),Gr3m1m2(y−y0),Gr3m1m2(z−z0))(5) 其中 r 3 r^3 r3 [ ( x − x 0 ) 2 ( y − y 0 ) 2 ( z − z 0 ) 2 ] 3 2 [{(x-x_0)^2(y-y_0)^2(z-z_0)^2}]^{\frac{3}{2}} [(x−x0)2(y−y0)2(z−z0)2]23(5-1) 这就是质点 M M M,对质点 P P P的引力(注意力是区分方向的,谁对谁的引力要区分清楚) 准确表示 ( x , y , z ) (x,y,z) (x,y,z)点对 ( x 0 , y 0 , z 0 ) (x_0,y_0,z_0) (x0,y0,z0)的吸引可以表示为 F ( x , y , z ) ← ( x 0 , y 0 , z 0 ) \bold{F}_{(x,y,z)\leftarrow{(x_0,y_0,z_0)}} F(x,y,z)←(x0,y0,z0)如果是 P P P对 M M M的引力方向相反,上述公式要取一个负号) 特别的,若质点 P 0 P_0 P0是单位质量 1 1 1,则公式变为 F \bold{F} F ( G m 1 ( x − x 0 ) r 3 , G m 1 ( y − y 0 ) r 3 , G m 1 ( z − z 0 ) r 3 ) (G\frac{m_1(x-x_0)}{r^3},G\frac{m_1(y-y_0)}{r^3},G\frac{m_1(z-z_0)}{r^3}) (Gr3m1(x−x0),Gr3m1(y−y0),Gr3m1(z−z0))(6)
三重积分计算引力
并由两质点间的引力公式,可得元素对应的小块物体对位于 P 0 P_0 P0处的单位质量质点的引力近似为 d F \mathrm{d}\bold{F} dF ( d F x , d F y , d F z ) (\mathrm{d}\bold F_{x},\mathrm{d}\bold F_{y},\mathrm{d}\bold F_{z}) (dFx,dFy,dFz) ( G ρ ( x , y , z ) ( x − x 0 ) r 3 d v , G ρ ( x , y , z ) ( y − y 0 ) r 3 d v , G ρ ( x , y , z ) ( z − z 0 ) r 3 d v ) \Large(G\frac{\rho(x,y,z)(x-x_0)}{r^3}\mathrm{d}v, G\frac{\rho(x,y,z)(y-y_0)}{r^3}\mathrm{d}v, G\frac{\rho(x,y,z)(z-z_0)}{r^3}\mathrm{d}v) (Gr3ρ(x,y,z)(x−x0)dv,Gr3ρ(x,y,z)(y−y0)dv,Gr3ρ(x,y,z)(z−z0)dv)(7) d F x , d F y , d F z \mathrm{d}\bold F_{x},\mathrm{d}\bold F_{y},\mathrm{d}\bold F_{z} dFx,dFy,dFz为引力元素 d F \mathrm{d}\bold{F} dF在三个坐标轴上的分量 r r r ( x − x 0 ) 2 ( y − y 0 ) 2 ( z − z 0 ) 2 \sqrt{(x-x_0)^2(y-y_0)^2(z-z_0)^2} (x−x0)2(y−y0)2(z−z0)2 ,表示区域内点 ( x , y , z ) (x,y,z) (x,y,z)与 ( x 0 , y 0 , z 0 ) (x_0,y_0,z_0) (x0,y0,z0)的距离 G G G为引力常数 对 d F x , d F y , d F z \mathrm{d}\bold F_{x},\mathrm{d}\bold F_{y},\mathrm{d}\bold F_{z} dFx,dFy,dFz在 Ω \Omega Ω上分别积分,得 F \bold{F} F ( d F x , d F y , d F z ) (\mathrm{d}\bold F_{x},\mathrm{d}\bold F_{y},\mathrm{d}\bold F_{z}) (dFx,dFy,dFz) ( ∭ Ω G ρ ( x , y , z ) ( x − x 0 ) r 3 d v , ∭ Ω G ρ ( x , y , z ) ( y − y 0 ) r 3 d v , ∭ Ω G ρ ( x , y , z ) ( z − z 0 ) r 3 d v ) \large(\iiint_{\Omega}G\frac{\rho(x,y,z)(x-x_0)}{r^3}\mathrm{d}v, \iiint_{\Omega}G\frac{\rho(x,y,z)(y-y_0)}{r^3}\mathrm{d}v, \iiint_{\Omega}G\frac{\rho(x,y,z)(z-z_0)}{r^3}\mathrm{d}v) (∭ΩGr3ρ(x,y,z)(x−x0)dv,∭ΩGr3ρ(x,y,z)(y−y0)dv,∭ΩGr3ρ(x,y,z)(z−z0)dv)(8)
薄片情形
对于薄片情形,将 ρ ( x , y , z ) \rho(x,y,z) ρ(x,y,z)换为 μ ( x , y ) \mu(x,y) μ(x,y)(体密度换为面密度),三重积分换为二重积分即可得到相应公式 F \bold{F} F ( d F x , d F y ) (\mathrm{d}\bold F_{x},\mathrm{d}\bold F_{y}) (dFx,dFy) ( ∬ D G μ ( x , y ) ( x − x 0 ) r 3 d σ , ∬ D G μ ( x , y ) ( y − y 0 ) r 3 d σ ) \large(\iint_{D}G\frac{\mu(x,y)(x-x_0)}{r^3}\mathrm{d}\sigma, \iint_{D}G\frac{\mu(x,y)(y-y_0)}{r^3}\mathrm{d}\sigma) (∬DGr3μ(x,y)(x−x0)dσ,∬DGr3μ(x,y)(y−y0)dσ)(8-1)
计算
条件允许时,将坐标系建立在合适的位置比较容易计算例如让 z z z轴经过 Ω \Omega Ω外的质点 P 0 P_0 P0的,使得 P 0 P_0 P0的坐标表示得简单:例如 ( 0 , 0 , a ) (0,0,a) (0,0,a)
例 求半径为 R R R均匀球 x 2 y 2 z 2 ⩽ R 2 x^2y^2z^2 \leqslant{R^2} x2y2z2⩽R2,对于点 P 0 ( 0 , 0 , a ) P_0(0,0,a) P0(0,0,a), ( a R ) (aR) (aR)的单位质量质点的引力 F \bold{F} F 将力分解到三个坐标轴上,考虑到球的对称性,任一点 ( x , y , z ) (x,y,z) (x,y,z)都有与其对应的关于 z z z轴对称的点 ( − x , − y , z ) (-x,-y,z) (−x,−y,z),这使得引力仅剩 z z z轴方向的分量不会被抵消,则 F F z \bold{F}\bold{F}_z FFz(0) F z \bold{F}_z Fz ∭ Ω G ρ ( z − a ) r 3 d v ) \iiint_{\Omega}G\frac{\rho(z-a)}{r^3}\mathrm{d}v) ∭ΩGr3ρ(z−a)dv) ∭ Ω G ρ ( z − a ) [ x 2 y 2 ( z − a ) 2 ] 3 2 d v \large\iiint_{\Omega}G\frac{\rho(z-a)}{[x^2y^2(z-a)^2]^\frac{3}{2}}\mathrm{d}v ∭ΩG[x2y2(z−a)2]23ρ(z−a)dv(1) ∭ Ω G ρ ( z − a ) [ x 2 y 2 ( z − a ) 2 ] 3 2 d v \large\iiint_{\Omega}G\frac{\rho(z-a)}{[x^2y^2(z-a)^2]^\frac{3}{2}}\mathrm{d}v ∭ΩG[x2y2(z−a)2]23ρ(z−a)dv;(2)利用先二后一的顺序积分 G ρ ∫ − R R ( z − a ) d z ∬ D z d x d y [ x 2 y 2 ( z − a ) 2 ] 3 2 G\rho\int_{-R}^{R}(z-a)\mathrm{d}z \iint_{D_{z}}\frac{\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{[x^2y^2(z-a)^2]^{\frac{3}{2}}} Gρ∫−RR(z−a)dz∬Dz[x2y2(z−a)2]23dxdy(3) G ρ ∫ − R R ( z − a ) d z ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 R 2 − z 2 r d r ( r 2 ( z − a ) 2 ) 3 2 G\rho\int_{-R}^{R}(z-a)\mathrm{d}z \int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta \int_{0}^{\sqrt{R^2-z^2}}\frac{r\mathrm{d}r}{(r^2(z-a)^2)^{\frac{3}{2}}} Gρ∫−RR(z−a)dz∫02πdθ∫0R2−z2 (r2(z−a)2)23rdr,(4) 观察发现,其中 ∫ 0 2 π d θ \int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta ∫02πdθ可以先算出结果,为 2 π 2\pi 2π而 ∫ 0 R 2 − z 2 r d r ( r 2 ( z − a ) 2 ) 3 2 \int_{0}^{\sqrt{R^2-z^2}}\frac{r\mathrm{d}r}{(r^2(z-a)^2)^{\frac{3}{2}}} ∫0R2−z2 (r2(z−a)2)23rdr中 ( z − a ) 2 (z-a)^2 (z−a)2视为常数部分,因为这是对 r r r的定积分;应用第一类换元法,容易积出 − ( r 2 ( z − a ) 2 ) − 1 2 ∣ 0 R 2 − z 2 -(r^2(z-a)^2)^{-\frac{1}{2}}|_{0}^{\sqrt{R^2-z^2}} −(r2(z−a)2)−21∣0R2−z2 − ( [ R 2 − z 2 z 2 − 2 a z a 2 ] − 1 2 − 1 ∣ z − a ∣ ) -([R^2-z^2z^2-2aza^2]^{-\frac{1}{2}}-\frac{1}{|z-a|}) −([R2−z2z2−2aza2]−21−∣z−a∣1) 1 a − z − 1 R 2 − 2 a z a 2 \frac{1}{a-z}-\frac{1}{\sqrt{R^2-2aza^2}} a−z1−R2−2aza2 1 注意到 a R ⩾ z aR\geqslant{z} aR⩾z,所以 1 ∣ z − a ∣ \frac{1}{|z-a|} ∣z−a∣1 1 a − z \frac{1}{a-z} a−z1 2 π G ρ ∫ − R R ( z − a ) ( 1 a − z − 1 R 2 − 2 a z a 2 ) d z 2\pi{G\rho}\int_{-R}^{R}(z-a) (\frac{1}{a-z}-\frac{1}{\sqrt{R^2-2aza^2}})\mathrm{d}z 2πGρ∫−RR(z−a)(a−z1−R2−2aza2 1)dz(5) 2 π G ρ ∫ − R R ( − 1 − z − a R 2 a 2 − 2 a z ) d z 2\pi{G\rho}\int_{-R}^{R}(-1-\frac{z-a}{\sqrt{R^2a^2-2az}})\mathrm{d}z 2πGρ∫−RR(−1−R2a2−2az z−a)dz 2 π G ρ ( − 2 R ∫ − R R a − z R 2 a 2 − 2 a z d z ) 2\pi G\rho(-2R \int_{-R}^{R}\frac{a-z}{\sqrt{R^2a^2-2az}}\mathrm{d}z) 2πGρ(−2R∫−RRR2a2−2az a−zdz)(6) 记其中 T ∫ − R R a − z R 2 a 2 − 2 a z d z T\int_{-R}^{R}\frac{a-z}{\sqrt{R^2a^2-2az}}\mathrm{d}z T∫−RRR2a2−2az a−zdz ∫ − R R − 1 2 a ⋅ a − z R 2 a 2 − 2 a z d ( R 2 a 2 − 2 a z ) \int_{-R}^{R}-\frac{1}{2a}\cdot\frac{a-z}{\sqrt{R^2a^2-2az}}\mathrm{d}(R^2a^2-2az) ∫−RR−2a1⋅R2a2−2az a−zd(R2a2−2az) 1 a ∫ − R R ( z − a ) d ( R 2 a 2 − 2 a z ) \frac{1}{a}\int_{-R}^{R}(z-a)\mathrm{d}(\sqrt{R^2a^2-2az}) a1∫−RR(z−a)d(R2a2−2az )(7) 这里用到 1 x d x 2 d x \frac{1}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x2\mathrm{d}\sqrt{x} x 1dx2dx 或 1 2 x d x d x \frac{1}{2\sqrt{x}}\mathrm{d}x\mathrm{d}\sqrt{x} 2x 1dxdx 再利用分部积分 T T T 1 a [ ( ( z − a ) R 2 a 2 − 2 a z ) ∣ − R R − ∫ − R R R 2 a 2 − 2 a z d ( z − a ) ] \frac{1}{a}[((z-a)\sqrt{R^2a^2-2az})|_{-R}^{R}- \int_{-R}^{R} \sqrt{R^2a^2-2az}\mathrm{d}(z-a)] a1[((z−a)R2a2−2az )∣−RR−∫−RRR2a2−2az d(z−a)] 1 a [ 4 a R − ( 2 a R 2 R 3 3 a ) ] \frac{1}{a}[4aR-(2aR\frac{2R^{3}}{3a})] a1[4aR−(2aR3a2R3)](8) ( ( z − a ) R 2 a 2 − 2 a z ) ∣ − R R ((z-a)\sqrt{R^2a^2-2az})|_{-R}^{R} ((z−a)R2a2−2az )∣−RR − ( a − R ) 2 ( a R ) 2 -(a-R)^2(aR)^2 −(a−R)2(aR)2 4 a R 4aR 4aR(8-1) ∫ R 2 a 2 − 2 a z d ( z − a ) \int \sqrt{R^2a^2-2az}\mathrm{d}(z-a) ∫R2a2−2az d(z−a) ∫ R 2 a 2 − 2 a z d z \int \sqrt{R^2a^2-2az}\mathrm{d}z ∫R2a2−2az dz − 1 2 a 2 3 ( R 2 a 2 − 2 a z ) 3 2 -\frac{1}{2a}\frac{2}{3}(R^2a^2-2az)^{\frac{3}{2}} −2a132(R2a2−2az)23 − 1 3 a ( R 2 a 2 − 2 a z ) 3 2 -\frac{1}{3a}(R^2a^2-2az)^\frac{3}{2} −3a1(R2a2−2az)23(8-2) ∫ − R R R 2 a 2 − 2 a z d ( z − a ) \int_{-R}^{R} \sqrt{R^2a^2-2az}\mathrm{d}(z-a) ∫−RRR2a2−2az d(z−a) − 1 3 a ( R 2 a 2 − 2 a z ) 3 2 ∣ − R R -\frac{1}{3a}(R^2a^2-2az)^\frac{3}{2}|_{-R}^{R} −3a1(R2a2−2az)23∣−RR − 1 3 a [ ( a − R ) 3 − ( a R ) 3 ] -\frac{1}{3a}[(a-R)^{3}-(aR)^{3}] −3a1[(a−R)3−(aR)3] − 1 3 a ( a 3 3 a 2 ( − R ) 3 a ( − R ) 2 ( − R ) 3 − ( a 3 3 a 2 R 3 a R 2 R 3 ) ) -\frac{1}{3a}(a^33a^2(-R)3a(-R)^2(-R)^3-(a^33a^2R3aR^2R^3)) −3a1(a33a2(−R)3a(−R)2(−R)3−(a33a2R3aR2R3)) − 1 3 a ( − 6 a 2 R − 2 R 3 ) -\frac{1}{3a}(-6a^2{R}-2R^{3}) −3a1(−6a2R−2R3) 2 a R 2 R 3 3 a 2aR\frac{2R^{3}}{3a} 2aR3a2R3(8-3)注意这里 ( ( R 2 a 2 − 2 a R ) 2 ) 3 2 ((R^2a^2-2aR)^{2})^{\frac{3}{2}} ((R2a2−2aR)2)23 ( ( a − R ) 2 ) 3 2 ((a-R)^{2})^{\frac{3}{2}} ((a−R)2)23 ( a − R ) 3 (a-R)^3 (a−R)3(8-4)而不是 ( R − a ) 3 (R-a)^{3} (R−a)3,这两个正负就不一样虽然 t t t ( a − R ) 2 (a-R)^2 (a−R)2 ( R − a ) 2 (R-a)^2 (R−a)2,但是 t 3 2 t^{\frac{3}{2}} t23 t 3 \sqrt{t^{3}} t3 结果是非负的因此,虽然 ( ( a − R ) 2 ) 3 2 ((a-R)^{2})^{\frac{3}{2}} ((a−R)2)23或者写成 ( ( R − a ) 2 ) 3 2 ((R-a)^{2})^{\frac{3}{2}} ((R−a)2)23都是正确的有意义的,但是计算 m [ ( a − R ) 2 ] 1 2 m[(a-R)^{2}]^{\frac{1}{2}} m[(a−R)2]21的结果是 ∣ a − R ∣ |a-R| ∣a−R∣ ∣ R − a ∣ |R-a| ∣R−a∣,一定要加绝对值(除非提前知道 a − R a-R a−R是正数)本例中 a R aR aR,所以 m m m a − R a-R a−R 将(8-1),(8-3)代入式(8),得 ∫ − R R a − z R 2 a 2 − 2 a z d z \int_{-R}^{R}\frac{a-z}{\sqrt{R^2a^2-2az}}\mathrm{d}z ∫−RRR2a2−2az a−zdz 1 a [ 4 a R − ( 2 a R 2 R 3 3 a ) ] \frac{1}{a}[4aR-(2aR\frac{2R^{3}}{3a})] a1[4aR−(2aR3a2R3)] 2 R − 2 R 3 3 a 2 2R-\frac{2R^3}{3a^2} 2R−3a22R3(8-5) 将式(8-5)代入式(6),得 F z \bold{F}_{z} Fz 2 π G ρ ( − 2 R 2 R − 2 R 3 3 a 2 ) 2\pi G\rho(-2R 2R-\frac{2R^3}{3a^2}) 2πGρ(−2R2R−3a22R3) − 4 π R 3 3 ρ ( G a 2 ) -\frac{4\pi R^3}{3}\rho (\frac{G}{a^2}) −34πR3ρ(a2G)(9) 若令 M M M 4 π R 3 3 ρ \frac{4\pi R^3}{3}\rho 34πR3ρ(即球体的质量(体积乘以密度的结果))则 F z \bold{F}_{z} Fz − G M a 2 -G\frac{M}{a^2} −Ga2M(9-1) 综上, F \bold{F} F F z \bold{F}_{z} Fz − G M a 2 -G\frac{M}{a^2} −Ga2M 小结:有一定计算量,特别是式(8-4)在计算过程中要注意
