自己的网站怎么做,wordpress outdoor,广东全网营销与推广公司,app开发多少钱系列文章目录 文章目录 系列文章目录前言一、相关函数 —— LQG/LQR 和极点配置算法1.1 LQR —— lqr 函数1.1.1 函数用法1.1.2 举例1.1.2.1 倒摆模型的 LQR 控制 1.2 LQG —— lqg() 函数1.2.1 函数用法1.2.2 举例 1.3 极点配置 —— place() 函数1.3.1 函数用法1.3.2 示例1.3…系列文章目录 文章目录 系列文章目录前言一、相关函数 —— LQG/LQR 和极点配置算法1.1 LQR —— lqr 函数1.1.1 函数用法1.1.2 举例1.1.2.1 倒摆模型的 LQR 控制 1.2 LQG —— lqg() 函数1.2.1 函数用法1.2.2 举例 1.3 极点配置 —— place() 函数1.3.1 函数用法1.3.2 示例1.3.2.1 二阶系统的极点配置设计1.3.2.2 极点配置观测器设计 前言
状态空间控制设计方法如 LQG/LQR 和极点配置算法适用于 MIMO 设计。 一、相关函数 —— LQG/LQR 和极点配置算法
1.1 LQR —— lqr 函数
1.1.1 函数用法
[K,S,P] lqr(sys,Q,R,N)
[K,S,P] lqr(A,B,Q,R,N)说明 [K,S,P] lqr(sys,Q,R,N) 计算连续时间或离散时间状态空间模型 sys 的最优增益矩阵 K、相关代数黎卡提方程的解 S 和闭环极点 P。Q 和 R 分别是状态和输入的权重矩阵。交叉项矩阵 N 在省略时设为零。 [K,S,P] lqr(A,B,Q,R,N) 使用连续时间状态空间矩阵 A 和 B 计算最佳增益矩阵 K、相关黎卡提方程的解 S 以及闭环极点 P。对于离散时间模型请使用 dlqr。 输入参数 sys - 动态系统模型动态系统模型以 ss 模型对象的形式指定。 A - 状态矩阵状态矩阵指定为 n x n 矩阵其中 n 为状态数。 B - 输入到状态矩阵输入 - 状态矩阵指定为 n x m 的输入 - 状态矩阵其中 m 为输入个数。 Q - 状态成本权重矩阵状态-成本加权矩阵指定为 n x n 矩阵其中 n 为状态数。你可以使用 Bryson 规则来设置 Q 的初始值其给定值为 Q i , i 1 m a x i m u m a c c e p t a b l e v a l u e o f ( e r r o r s t a t e s ) 2 , i ∈ { 1 , 2 , . . . , n } Q_{i,i}\dfrac{1}{\mathrm{maximum~acceptable~value~of~(error_{states})^{2}}},~\mathrm{i}\in\{1,2,...,n\} Qi,imaximum acceptable value of (errorstates)21, i∈{1,2,...,n} Q [ Q 1 , 1 0 ⋯ 0 0 Q 2 , 2 ⋯ 0 0 0 ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ Q n , n ] Q\left[\begin{array}{c c c c}{{Q_{1,1}}}{{0}}{{\cdots}}{{0}}\\ {{0}}{{Q_{2,2}}}{{\cdots}}{{0}}\\ {{0}}{{0}}{{\ddots}}{{\vdots}}\\ {{0}}{{0}}{{\cdots}}{{Q_{n,n}}}\end{array}\right] Q⎣⎢⎢⎢⎡Q1,10000Q2,200⋯⋯⋱⋯00⋮Qn,n⎦⎥⎥⎥⎤ R - 输入成本权重矩阵输入成本加权矩阵指定为标量或与 DD 相同大小的矩阵。这里D 是馈通状态空间矩阵。可以使用 Bryson 规则设置 R 的初始值其给定值为 R i , i 1 m a x i m u m a c c e p t a b l e v a l u e o f ( e r r o r s t a t e s ) 2 , i ∈ { 1 , 2 , . . . , m } R_{i,i}\dfrac{1}{\mathrm{maximum~acceptable~value~of~(error_{states})^{2}}},~\mathrm{i}\in\{1,2,...,m\} Ri,imaximum acceptable value of (errorstates)21, i∈{1,2,...,m} R [ R 1 , 1 0 ⋯ 0 0 R 2 , 2 ⋯ 0 0 0 ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ R n , n ] R\left[\begin{array}{c c c c}{{R_{1,1}}}{{0}}{{\cdots}}{{0}}\\ {{0}}{{R_{2,2}}}{{\cdots}}{{0}}\\ {{0}}{{0}}{{\ddots}}{{\vdots}}\\ {{0}}{{0}}{{\cdots}}{{R_{n,n}}}\end{array}\right] R⎣⎢⎢⎢⎡R1,10000R2,200⋯⋯⋱⋯00⋮Rn,n⎦⎥⎥⎥⎤ 这里m 是输入的个数。 N - 可选的交叉项矩阵可选的交叉项矩阵以矩阵形式指定。如果没有指定 Nlqr 默认将 N 设为 0。 输出参数 K - 最优增益闭环系统的最优增益以大小为 n 的行向量形式返回其中 n 为状态数。 S - 相关代数黎卡提方程的解相关代数黎卡提方程的解以 n x n 矩阵形式返回其中 n 为状态数。换句话说S 的维度与状态空间矩阵 A 相同。更多信息请参见 icare 和 idare。 P - 闭环系统的极点闭环系统的极点以大小为 n 的列向量形式返回其中 n 为状态数。 局限性
输入数据必须满足以下条件 一对矩阵 A 和 B 必须是可稳定的。 [ Q , N ; N ′ , R ] [Q,N;N,R] [Q,N;N′,R] 必须是非负定。 R 0 R0 R0 并且 Q − N R − 1 N T ≥ 0. Q-N R^{-1}N^{T}\ge0. Q−NR−1NT≥0. ( Q − N R − 1 N T , A − B R − 1 N T ) (Q-N R^{-1}N^{T},\,A-B R^{-1}N^{T}) (Q−NR−1NT,A−BR−1NT) 在虚轴或离散时间中的单位圆上没有不可观测的模式。 提示 lqr 支持非奇异 E 的描述符模型。lqr 的输出 S 是等效显式状态空间模型的代数黎卡提方程的解 d x d t E − 1 A x E − 1 B u {\dfrac{d x}{d t}}E^{-1}A xE^{-1}B u dtdxE−1AxE−1Bu LQR 算法 对于连续时间系统lqr 计算的状态反馈控制 u-Kx 可使二次成本函数最小化 J ( u ) ∫ 0 ∞ ( x T Q x u T R u 2 x T N u ) d t J(u)\int_{0}^{\infty}(x^{T}Q xu^{T}R u2x^{T}N u)d t J(u)∫0∞(xTQxuTRu2xTNu)dt 系统动力学 x ˙ A x B u . {\dot{x}}A xB u. x˙AxBu. 除了状态反馈增益 K 之外lqr 还返回相关代数黎卡提方程的解 S A T S S A − ( S B N ) R − 1 ( B T S N T ) Q 0 A^{T}SS A-(S BN)R^{-1}(B^{T}SN^{T})Q0 ATSSA−(SBN)R−1(BTSNT)Q0 和闭环极点 P eig(A-BK)。增益矩阵 K 由 S 得出计算公式为 K R − 1 ( B T S N T ) . KR^{-1}(B^{T}SN^{T}). KR−1(BTSNT). 对于离散时间系统lqr 可计算状态反馈控制 u n − K x n u_{n}-K x_{n} un−Kxn 最小化 J ∑ n 0 ∞ { x T Q x u T R u 2 x T N u } J\sum_{n0}^{\infty}\{x^{T}Q xu^{T}R u2x^{T}N u\} Jn0∑∞{xTQxuTRu2xTNu} 系统动力学 x n 1 A x n B u n x_{n1}A x_{n}B u_{n} xn1AxnBun 在任何情况下如果省略交叉项矩阵 Nlqr 都会将 N 设为 0。 1.1.2 举例
1.1.2.1 倒摆模型的 LQR 控制
pendulumModelCart.mat 包含小车上倒立摆的状态空间模型其输出为小车位移 x 和摆角 θ控制输入 u 为小车上的水平力。 KaTeX parse error: No such environment: equation at position 8: \begin{̲e̲q̲u̲a̲t̲i̲o̲n̲}̲ \begin{bmatrix… KaTeX parse error: No such environment: equation at position 8: \begin{̲e̲q̲u̲a̲t̲i̲o̲n̲}̲ \bm{y}\begin{… 首先将状态空间模型 sys 加载到工作区。
load(pendulumCartModel.mat,sys)由于输出为 x x x 和 θ \theta θ而输入只有一个因此使用 Bryson 规则确定 Q 和 R。
Q [1,0,0,0;...0,0,0,0;...0,0,1,0;...0,0,0,0];
R 1;使用 lqr 求增益矩阵 K。由于没有指定 Nlqr 将 N 设为 0。
[K,S,P] lqr(sys,Q,R)K 1×4-1.0000 -1.7559 16.9145 3.2274S 4×41.5346 1.2127 -3.2274 -0.68511.2127 1.5321 -4.5626 -0.9640-3.2274 -4.5626 26.5487 5.2079-0.6851 -0.9640 5.2079 1.0311P 4×1 complex-0.8684 0.8523i-0.8684 - 0.8523i-5.4941 0.4564i-5.4941 - 0.4564i虽然 Bryson 规则通常能提供令人满意的结果但它通常只是根据设计要求调整闭环系统响应的试错迭代设计程序的起点。
1.2 LQG —— lqg() 函数
1.2.1 函数用法
reg lqg(sys,QXU,QWV)
reg lqg(sys,QXU,QWV,QI)
reg lqg(sys,QXU,QWV,QI,1dof)
reg lqg(sys,QXU,QWV,QI,2dof)
reg lqg(___,current)
[reg,info] lqg(___)说明 reg lqg(sys,QXU,QWV) 给定一个被控对象的状态空间模型 sys 以及权重矩阵 QXU 和 QWV计算出一个最优线性二次高斯LQG调节器 reg。动态调节器 reg 利用测量值 y 生成控制信号 u将 y 调节到零值附近。使用正反馈将该调节器与被控对象的输出 y 连接起来。 LQG 调节器使成本函数最小化 J E { * l i m τ → ∞ 1 τ ∫ 0 τ [ x T , u T ] Q x u [ x u ] d t } JE\left\{\operatorname*{lim}_{\tau\rightarrow\infty}\frac{1}{\tau}\int_{0}^{\tau}[x^{T},u^{T}]Q x u\begin{bmatrix} x \\ u \end{bmatrix}d t\right\} JE{*limτ→∞τ1∫0τ[xT,uT]Qxu[xu]dt} 受被控对象方程的约束 d x / d t A x B u w y C x D u ν \begin{array}{c}{{d x/d tA xB uw}}\\ {{yC xD u\nu}}\end{array} dx/dtAxBuwyCxDuν 其中过程噪声 w 和测量噪声 v 均为具有协方差的高斯白噪声 KaTeX parse error: Undefined control sequence: \cal at position 95: …rime}]\right){\̲c̲a̲l̲ ̲Q}{\cal W}V reg lqg(sys,QXU,QWV,QI) 使用设定点指令 r 和测量值 y 来生成控制信号 u。 LQG 伺服控制器可使成本函数最小化 J E { * l i m τ → ∞ 1 τ ∫ 0 τ ( [ x T , u T ] Q x u ∣ u x ∣ x i T Q i x i ) d t } JE\left\{\operatorname*{lim}_{\tau\rightarrow\infty}\frac{1}{\tau}\int_{0}^{\tau}\left([x^{T},u^{T}]Q x u\biggl|_{u}^{x}\biggr|x_{i}^{T}Q_i x_{i}\right)d t\right\} JE{*limτ→∞τ1∫0τ([xT,uT]Qxu∣∣∣∣ux∣∣∣∣xiTQixi)dt} 对于多输入多输出系统r、y 和 x i x_i xi 的长度必须相同。 reg lqg(sys,QXU,QWV,QI,1dof)计算以 e r - y 而不是 [r ; y] 作为输入的一自由度伺服控制器。 reg lqg(sys,QXU,QWV,QI,2dof) 等价于 LQG(sys,QXU,QWV,QI)并产生前面显示的二自由度伺服控制器。 reg lqg(____,current)使用 current 卡尔曼估计器该估计器在计算离散时间系统的 LQG 调节器时使用 x[n|n] 作为状态估计值。 [reg,info] lqg(____)返回前面任何语法结构 info 中的控制器和估计器增益矩阵。例如您可以使用控制器和估计器增益以观测器形式实现控制器。更多信息请参阅算法。 1.2.2 举例
线性-二次高斯 (LQG) 调节器和伺服控制器设计
本例介绍如何为以下系统设计线性二次高斯LQG调节器、一自由度 LQG 伺服控制器和二自由度 LQG 伺服控制器。 被控对象有三个状态 (x)、两个控制输入 (u)、三个随机输入 (w)、一个输出 (y)、输出的测量噪声 (v)以及以下状态方程和测量方程。 d x d t A x B u w y C x D u ν \dfrac{d x}{d t}A xB uw \\ yC xD u\nu dtdxAxBuwyCxDuν A [ 0 1 0 0 0 1 1 0 0 ] B [ 0.3 1 0 1 − 0.3 0.9 ] \begin{array}{r l}{A{\left[\begin{array}{l l l}{0}{1}{0}\\ {0}{0}{1}\\ {1}{0}{0}\end{array}\right]}}{{}B{\left[\begin{array}{l l}{0.3} {1}\\ 0 1 \\ {-0.3} {0.9}\end{array}\right]}}\end{array} \\ A⎣⎡001100010⎦⎤B⎣⎡0.30−0.3110.9⎦⎤ C [ 1.9 1.3 1 ] D [ 0.53 − 0.61 ] C\left[1.9\quad\ 1.3\quad\ 1\right]\quad D\left[0.53-0.61\right] C[1.9 1.3 1]D[0.53−0.61]
系统的噪声协方差数据如下 Q n E ( w w T ) [ 4 2 0 2 1 0 0 0 1 ] Q nE(w w^{T})\left[{\begin{array}{c c c}{4}{2}{0}\\ {2}{1}{0}\\ {0}{0}{1}\end{array}}\right] QnE(wwT)⎣⎡420210001⎦⎤ R n E ( ν ν T ) 0.7 R_{n}E(\nu\nu^{T})0.7 RnE(ννT)0.7
对于调节器使用以下成本函数来定义调节性能和控制输入之间的权衡 J ( u ) ∫ 0 ∞ ( 0.1 x T x u T [ 1 0 0 2 ] u ) d t J(u)\int_{0}^{\infty}(0.1x^{T}xu^{T}\begin{bmatrix} 10 \\ 02 \end{bmatrix}u)d t J(u)∫0∞(0.1xTxuT[1002]u)dt
对于伺服控制器使用以下成本函数来定义跟踪器性能和控制力之间的权衡 J ( u ) ∫ 0 ∞ ( 0.1 x T x x i 2 u T [ 1 0 0 2 ] u ) d t J(u)\int_{0}^{\infty}(0.1x^{T}xx_{i}^{2}u^{T}\begin{bmatrix} 10 \\ 02 \end{bmatrix}u)d t J(u)∫0∞(0.1xTxxi2uT[1002]u)dt
为该系统设计 LQG 控制器
在 MATLAB 命令窗口中输入以下内容创建状态空间系统
A [0 1 0;0 0 1;1 0 0];
B [0.3 1;0 1;-0.3 0.9];
C [1.9 1.3 1];
D [0.53 -0.61];
sys ss(A,B,C,D);输入以下命令定义噪声协方差数据和加权矩阵
nx 3; %Number of states
ny 1; %Number of outputs
Qn [4 2 0; 2 1 0; 0 0 1];
Rn 0.7;
R [1 0;0 2]
QXU blkdiag(0.1*eye(nx),R);
QWV blkdiag(Qn,Rn);
QI eye(ny);键入以下命令组建 LQG 调节器
KLQG lqg(sys,QXU,QWV)This command returns the following LQG regulator:
A x1_e x2_e x3_ex1_e -6.212 -3.814 -4.136x2_e -4.038 -3.196 -1.791x3_e -1.418 -1.973 -1.766B y1x1_e 2.365x2_e 1.432x3_e 0.7684C x1_e x2_e x3_eu1 -0.02904 0.0008272 0.0303u2 -0.7147 -0.7115 -0.7132D y1u1 0u2 0Input groups: Name ChannelsMeasurement 1 Output groups: Name Channels Controls 1,2 Continuous-time model.键入以下命令形成单自由度 LQG 伺服控制器
KLQG1 lqg(sys,QXU,QWV,QI,1dof)This command returns the following LQG servo controller:
A x1_e x2_e x3_e xi1x1_e -7.626 -5.068 -4.891 0.9018x2_e -5.108 -4.146 -2.362 0.6762x3_e -2.121 -2.604 -2.141 0.4088xi1 0 0 0 0B e1x1_e -2.365x2_e -1.432x3_e -0.7684xi1 1C x1_e x2_e x3_e xi1u1 -0.5388 -0.4173 -0.2481 0.5578u2 -1.492 -1.388 -1.131 0.5869D e1u1 0u2 0Input groups: Name Channels Error 1 Output groups: Name ChannelsControls 1,2 Continuous-time model.输入以下命令生成二自由度 LQG 伺服控制器
KLQG2 lqg(sys,QXU,QWV,QI,2dof)This command returns the following LQG servo controller:
A x1_e x2_e x3_e xi1x1_e -7.626 -5.068 -4.891 0.9018x2_e -5.108 -4.146 -2.362 0.6762x3_e -2.121 -2.604 -2.141 0.4088xi1 0 0 0 0B r1 y1x1_e 0 2.365x2_e 0 1.432x3_e 0 0.7684xi1 1 -1C x1_e x2_e x3_e xi1u1 -0.5388 -0.4173 -0.2481 0.5578u2 -1.492 -1.388 -1.131 0.5869D r1 y1u1 0 0u2 0 0Input groups: Name ChannelsSetpoint 1 Measurement 2 Output groups: Name Channels Controls 1,2 Continuous-time model.小贴士 lqg 可用于连续时间和离散时间被控对象。在离散时间情况下lqg 默认使用 x[n|n-1] 作为状态估计值。要使用 x[n|n] 作为状态估计并计算最优 LQG 控制器请使用 current 输入参数。有关状态估计器的详细信息请参见 kalman。 计算 LQG调节器时lqg 使用 lqr 和 kalman 命令。要计算伺服控制器lqg 使用 lqi 和 kalman 命令。 如果希望更灵活地设计调节器可以使用 lqr、kalman 和 lqgreg 命令。在设计伺服控制器时如果需要更大的灵活性可以使用 lqi、kalman 和 lqgtrack 命令。有关使用这些命令以及如何决定何时使用这些命令的更多信息请参阅线性-二次方-高斯 (LQG) 调节设计和带积分动作的伺服控制器的线性-二次方-高斯 (LQG) 设计。 LQG 算法 控制器方程为 对于连续时间 d x e A x e B u L ( y − C x e − D u ) u − K x e − K i x i d x_eA x_eB uL(y-C x_e-D u) \\ u-K x_e-K_i x_i dxeAxeBuL(y−Cxe−Du)u−Kxe−Kixi对于离散时间 x [ n 1 ∣ n ] A x [ n ∣ n − 1 ] B u [ n ] L ( y [ n ] − C x [ n ] n − 1 ] − D u [ n ] ) x[n1|n]A x[n|n-1]B u[n]L(y[n]-C x[n]n-1]-D u[n]) x[n1∣n]Ax[n∣n−1]Bu[n]L(y[n]−Cx[n]n−1]−Du[n]) 延迟估计器 u [ n ] − K x x [ n ] n − 1 ] − K i x i [ n ] u[n]-K_{x}x[n]n-1]-K_{i}x_{i}[n] u[n]−Kxx[n]n−1]−Kixi[n]目前的估算器 u [ n ] − K x x [ n ] n ] − K i x i [ n ] − K w w [ n ] − K x x [ n ] n − 1 ] − K i x i [ n ] − ( K x M x K w M w ) y i n n [ n ] {u[n]-K_{x}x[n]n]-K_{i}x_{i}[n]-K_{w}w[n]-K_{x}x[n]n-1]-K_{i}x_{i}[n]-(K_{x}M_{x}K_{w}M_{w})y_{ i n n}[n]} u[n]−Kxx[n]n]−Kixi[n]−Kww[n]−Kxx[n]n−1]−Kixi[n]−(KxMxKwMw)yinn[n] y i n n [ n ] y [ n ] − C x [ n ] n − 1 ] − D u [ n ] y_{i n n}[n]y[n]-C x[n]n-1]-D u[n] yinn[n]y[n]−Cx[n]n−1]−Du[n] 这里 A、B、C 和 D 是 LQG 调节器的状态空间矩阵reg. x i x_i xi 是跟踪误差 r - y 的积分。 K x K_x Kx、 K w K_w Kw、 K i K_i Ki、L、 M x M_x Mx 和 M w M_w Mw 是信息中返回的控制器和估计器增益矩阵。 1.3 极点配置 —— place() 函数
1.3.1 函数用法 K place(A,B,p) [K,prec] place(A,B,p) 说明 极点配置是一种计算最优增益矩阵的方法用于将闭环极点分配给指定位置从而确保系统稳定性。闭环极点位置会直接影响上升时间、稳定时间和瞬变振荡等时间响应特性。有关详细信息请参阅极点配置。 从图中假设有以下状态空间形式的线性动态系统 x ˙ A x B u y C x D u \begin{array}{c}{{\dot{x}A xB u}}\\ {{}}\\ {{yC xD u}}\end{array} x˙AxBuyCxDu 对于期望的自共轭闭环极点位置的给定向量 pplace 计算增益矩阵 K使得状态反馈 u –Kx 将极点配置在位置 p。换句话说A - BK 的特征值将匹配 p 的条目取决于排序。 K place(A,B,p) 通过计算状态反馈增益矩阵 K配置所需的闭环极点 p。被控对象的所有输入都假定为控制输入。 place也适用于多输入系统并且基于 [1] 中的算法。此算法使用额外的自由度来求一个解以使闭环极点对于 A 或 B 中的扰动具有最小的敏感度。 [K,prec] place(A,B,p) 还返回 prec用于精确估计 A - BK 的特征值与指定位置 p 的匹配程度prec 可计算实际闭环极点中的精确小数位数。如果某个非零闭环极点偏离期望位置超出 10%则系统会发出警告。 输入参数 A — 状态矩阵 状态矩阵指定为一个 Nx×Nx 矩阵其中 Nx 是状态数。 B — 输入-状态矩阵 输入-状态矩阵指定为 Nx×Nu 矩阵其中 Nx 是状态数Nu 是输入数。 p — 闭环极点位置 闭环极点位置指定为长度为 Nx 的向量其中 Nx 是状态数。换句话说p 的长度必须与 A 的行大小匹配。闭环极点位置会直接影响上升时间、稳定时间和瞬变振荡等时间响应特性。有关选择极点的示例请参阅二阶系统的极点配置设计。 如果 p 中某些极点的重数大于 rank(B)则 place 返回错误。 在高阶问题中选择某些极点位置会导致增益非常大。大增益会带来敏感性问题这表明在使用极点配置方法时要小心。有关数值测试的结果请参阅 [2]。 输出参数 K — 最优增益 最优增益或全状态反馈增益以 Ny×Nx 矩阵形式返回其中 Nx 是状态数Ny 是输出数。place 计算增益矩阵 K使得状态反馈 u -Kx 将闭环极点配置于位置 p。 当矩阵 A 和 B 为实数时则 K 为 实数前提是 p 具有自共轭性。 复数前提是极点位置不具有复共轭性。 prec — 指定极点的准确性估计值 指定极点的准确性估计值以标量形式返回。prec 对比 p 中指定的极点位置来计算实际闭环极点的精确小数位数。 1.3.2 示例
1.3.2.1 二阶系统的极点配置设计
对于此示例假设有一个具有以下状态空间矩阵的简单二阶系统 A [ − 1 − 2 1 0 ] B [ 2 0 ] C [ 0 1 ] D 0 A{\left[\begin{array}{l l}{-1}{-2}\\ {1}{0}\end{array}\right]}\quad B{\left[\begin{array}{l l}2\\ {0}\end{array}\right]}\quad C\left[0\quad1\right]\quad D0 A[−11−20]B[20]C[01]D0 输入矩阵并创建状态空间系统。
A [-1,-2;1,0];
B [2;0];
C [0,1];
D 0;
sys ss(A,B,C,D);计算开环极点并检查开环系统的阶跃响应。
Pol pole(sys)Pol 2×1 complex-0.5000 1.3229i-0.5000 - 1.3229ifigure(1)
step(sys)
hold on;请注意生成的系统为欠阻尼系统。因此选择复平面左半部分的实极点来消除振荡。
p [-1,-2];使用极点配置求增益矩阵 K并检查 syscl 的闭环极点。
K place(A,B,p);
Acl A-B*K;
syscl ss(Acl,B,C,D);
Pcl pole(syscl)Pcl 2×1-2.0000-1.0000现在比较闭环系统的阶跃响应。
figure(1)
step(syscl)因此使用极点配置获得的闭环系统是稳定的具有良好的稳态响应。
请注意选择远离虚轴的极点可以缩短响应时间但会减小系统的稳态增益。例如假设上述系统使用极点 [-2,-3]。
p [-2, -3];
K2 place(A,B,p);
syscl2 ss(A-B*K2,B,C,D);
figure(1);
step(syscl2);stepinfo(syscl)ans struct with fields:RiseTime: 2.5901TransientTime: 4.6002SettlingTime: 4.6002SettlingMin: 0.9023SettlingMax: 0.9992Overshoot: 0Undershoot: 0Peak: 0.9992PeakTime: 7.7827stepinfo(syscl2)ans struct with fields:RiseTime: 1.4130TransientTime: 2.4766SettlingTime: 2.4766SettlingMin: 0.3003SettlingMax: 0.3331Overshoot: 0Undershoot: 0Peak: 0.3331PeakTime: 4.1216
1.3.2.2 极点配置观测器设计
对于此示例假设有以下 SISO 状态空间模型 A [ − 1 − 0.75 1 0 ] B [ 1 0 ] C [ 1 1 ] D 0 A{\left[\begin{array}{l l}{-1}{-0.75}\\ {1}{0}\end{array}\right]}\quad B{\left[\begin{array}{l l}1\\ {0}\end{array}\right]}\quad C\left[1\quad1\right]\quad D0 A[−11−0.750]B[10]C[11]D0
创建由以下状态空间矩阵定义的 SISO 状态空间模型
创建由以下状态空间矩阵定义的 SISO 状态空间模型现在向被控对象提供一个脉冲并使用 lsim 对其进行仿真。绘制输出。
N 250;
t linspace(0,25,N);
u [ones(N/2,1); zeros(N/2,1)];
x0 [1;2];
[y,t,x] lsim(Plant,u,t,x0);figure
plot(t,y);
title(Output);对于此示例假设所有状态变量都无法测量只有输出才能测量。因此使用这种测量方法设计一个观测器。使用 place 来计算估计器增益方法是转置 A 矩阵并用 C’ 代换矩阵 B。对于此实例将所需的极点位置选为 -2 和 -3。
L place(A,C,[-2,-3]);使用估计器增益依据对偶/分离原理代换状态矩阵并创建估计的状态空间模型。
At A-L*C;
Bt [B,L];
Ct [C;eye(2)];
sysObserver ss(At,Bt,Ct,0);使用相同的脉冲输入对系统的时间响应进行仿真。
[observerOutput,t] lsim(sysObserver,[u,y],t);
yHat observerOutput(:,1);
xHat observerOutput(:,[2 3]);比较实际系统和估计系统的响应。
figure;
plot(t,x);
hold on;
plot(t,xHat,--);
legend(x_1,x_2,xHat_1,xHat_2)
title(Comparison - Actual vs. Estimated);
