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线性代数的中心问题是求解线性方程组。线性的意思是这些方程的未知数是一次的#xff0c;即每个未知数只会乘数字#xff0c;而不会出现 x x x 与 y y y 相乘的项。下面是一个由两个未知数组成的方程组#xff1a; 两个方程 两个未知数 { x − 2 y 1…一、行图像与列图像
线性代数的中心问题是求解线性方程组。线性的意思是这些方程的未知数是一次的即每个未知数只会乘数字而不会出现 x x x 与 y y y 相乘的项。下面是一个由两个未知数组成的方程组 两个方程 两个未知数 { x − 2 y 1 3 x 2 y 11 ( 2.1.1 ) \begin{matrix}\textbf{两个方程}\kern 11pt\\\textbf{两个未知数}\end{matrix}\kern 15pt\left\{\begin{matrix}x-2y1\\3x2y11\end{matrix}\right.\kern 20pt(2.1.1) 两个方程两个未知数{x−2y13x2y11(2.1.1)我们首先一次处理一行。将这两个方程的图像在 x y xy xy 平面上画出来如Figrure 2.1所示。行图像中第一条直线是 x − 2 y 1 x-2y1 x−2y1第二条直线是 3 x 2 y 11 3x2y11 3x2y11它们的交点是 x 3 , y 1 x3,y1 x3,y1点 ( 3 , 1 ) (3,1) (3,1) 同时落在两条直线上也是两个方程的解。 行行图像显示两条直线交于一点解。
下面考虑列图像将上述方程组写成 “向量方程式”我们要观察的是向量而不是数字。向量方程式表示列的组合 列的组合等于 b x [ 1 3 ] y [ − 2 2 ] [ 1 11 ] b ( 2.1.2 ) \textbf{列的组合等于}\,\boldsymbol b\kern 15ptx\begin{bmatrix}1\\3\end{bmatrix}y\begin{bmatrix}-2\\\kern 7pt2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\11\end{bmatrix}\boldsymbol b\kern 20pt(2.1.2) 列的组合等于bx[13]y[−22][111]b(2.1.2)左侧有两个列向量问题是找到这些向量正确的组合使得它们与右侧的向量相等。第一列乘 x x x第二列乘 y y y然后将它们相加。正确的组合是 x 3 x3 x3 y 1 y1 y1与行图像得到的结果相同 3 ( 列1 ) 1 ( 列2 ) b 3(\textbf{列1})1(\textbf{列2})\boldsymbol b 3(列1)1(列2)b。 列列图像组合左侧的列向量产生右侧的向量 b \boldsymbol b b。 Figure 2.2 是两个方程两个未知数的列图像第一个图是两个不同的列然后第一列乘 3 3 3数乘是线性代数中两个基本运算之一 数乘 3 [ 1 3 ] [ 3 9 ] \textbf{数乘}\kern 20pt3\begin{bmatrix}1\\3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3\\9\end{bmatrix} 数乘3[13][39]如果向量 v \boldsymbol v v 的分量是 v 1 v_1 v1 与 v 2 v_2 v2则 c v c\boldsymbol v cv 的分量是 c v 1 cv_1 cv1 与 c v 2 cv_2 cv2。 另一个基本运算是向量的加法分别将两个向量的第一分量和第二分量相加其和是 ( 1 , 11 ) (1,11) (1,11)即 b \boldsymbol b b 向量加法 [ 3 9 ] [ − 2 2 ] [ 1 11 ] \textbf{向量加法}\kern 20pt\begin{bmatrix}3\\9\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-2\\\kern 7pt2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\11\end{bmatrix} 向量加法[39][−22][111]Figure 2.2 中的第二个图表示上述的向量加法。黑线表示两个向量其对角线表示两个向量的和也就是线性方程组右侧的向量 b ( 1 , 11 ) \boldsymbol b(1,11) b(1,11)。 重复一遍向量方程式的左侧是列的线性组合问题是找到正确的系数 x 3 , y 1 x3,y1 x3,y1。将数乘和向量的加法合成一个步骤这个步骤非常重要因为它包含了两个基本运算向量的两列分别乘 3 3 3 和 1 1 1然后相加。 线性组合 3 [ 1 3 ] [ − 2 2 ] [ 1 11 ] \textbf{线性组合}\kern 20pt3\begin{bmatrix}1\\3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-2\\\kern 7pt2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\11\end{bmatrix} 线性组合3[13][−22][111]方程组左侧的系数矩阵是一个 2 × 2 2×2 2×2 的矩阵 A A A 系数矩阵 A [ 1 − 2 3 2 ] \textbf{系数矩阵}\kern 20ptA\begin{bmatrix}1-2\\3\kern 7pt2\end{bmatrix} 系数矩阵A[13−22]我们可以从行或者列来观察矩阵行可以得到行图像列可以得到列图像。相同的方程组可以通过不同的图像来观察。方程组写成矩阵方程式 A x b A\boldsymbol x\boldsymbol b Axb 矩阵方程式 A x b [ 1 − 2 3 2 ] [ x y ] [ 1 11 ] \textbf{矩阵方程式}\,A\boldsymbol x\boldsymbol b\kern 20pt\begin{bmatrix}1-2\\3\kern 7pt2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\11\end{bmatrix} 矩阵方程式Axb[13−22][xy][111]行图像处理两行列图像组合两列。将 x 3 , y 1 x3,y1 x3,y1 代入 x \boldsymbol x x即矩阵-向量的乘法 { 行的点积 列的组合 A x b [ 1 − 2 3 2 ] [ 3 1 ] [ 1 11 ] \left\{\begin{matrix}\textbf{行的点积}\\\textbf{列的组合}\end{matrix}\right.\kern 10ptA\boldsymbol x\boldsymbol b\kern 10pt\begin{bmatrix}1-2\\3\kern 7pt2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3\\1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\11\end{bmatrix} {行的点积列的组合Axb[13−22][31][111]
二、三个未知数三个方程
下面讨论三个未知数三个方程的情况未知数是 x , y , z x,y,z x,y,z线性方程如下 A x b { x 2 y 3 z 6 2 x 5 y 2 z 4 6 x − 3 y z 2 ( 2.1.3 ) A\boldsymbol x\boldsymbol b\kern 20pt\left\{\begin{matrix}x2y3z6\\2x5y2z4\\6x-3yz2\end{matrix}\right.\kern 20pt(2.1.3) Axb⎩ ⎨ ⎧x2y3z62x5y2z46x−3yz2(2.1.3)方程组的解可能存在也可能不存在本例中是有解的。一般情况下当未知数的个数等于方程的个数时例如本例中通常会有一个解。 我们首先从两个方面来观察本例 行 行图像显示三个平面相交于一点。 列 列图像三个列的组合产生 b ( 6 , 4 , 2 ) \boldsymbol b(6,4,2) b(6,4,2)。
在行图像中每个方程表示一个三维空间中的平面Figure 2.3 中的第一个平面表示 x 2 y 3 z 6 x2y3z6 x2y3z6该平面与 x , y , z x,y,z x,y,z 轴的交点分别是 ( 6 , 0 , 0 ) (6,0,0) (6,0,0) ( 0 , 3 , 0 ) (0,3,0) (0,3,0) ( 0 , 0 , 2 ) (0,0,2) (0,0,2)这三个点都满足这个方程且确定一个平面。 由于向量 ( x , y , z ) ( 0 , 0 , 0 ) (x,y,z)(0,0,0) (x,y,z)(0,0,0) 不是 x 2 y 3 z 6 x2y3z6 x2y3z6 的解所该平面不过原点。平面 x 2 y 3 z 0 x2y3z0 x2y3z0 过原点且平行于 x 2 y 3 z 6 x2y3z6 x2y3z6。 第二个平面表示 2 x 5 y 2 z 4 2x5y2z4 2x5y2z4它与第一个平面交于一条直线 L L L。一般来说三个未知数两个方程的通解是一条直线如本例的直线 L L L。但是方程 x 2 y 3 z 6 x2y3z6 x2y3z6 和 x 2 y 3 z 0 x2y3z0 x2y3z0 没用通解它们在空间中表示的两个平面平行。 第三个平面表示 6 x − 3 y z 2 6x-3yz2 6x−3yz2它与直线 L L L 相交于一点这个点落在全部三个平面上就是三个方程的解。它们的交点是 ( 0 , 0 , 2 ) (0,0,2) (0,0,2)这个在行图像中很难看出。 列图像我们写成向量的形式 A x b A\boldsymbol x\boldsymbol b Axb 列的组合 x [ 1 2 6 ] y [ 2 5 − 3 ] z [ 3 2 1 ] [ 6 4 2 ] b ( 2.1.4 ) \textbf{列的组合}\kern 12ptx\begin{bmatrix}1\\2\\6\end{bmatrix}y\begin{bmatrix}\kern 7pt2\\\kern 7pt5\\-3\end{bmatrix}z\begin{bmatrix}3\\2\\1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}6\\4\\2\end{bmatrix}\boldsymbol b\kern 15pt(2.1.4) 列的组合x 126 y 25−3 z 321 642 b(2.1.4)未知数是系数 x , y , z x,y,z x,y,z我们需要对三个列向量进行正确的组合产生 b ( 6 , 4 , 2 ) \boldsymbol b(6,4,2) b(6,4,2)。 Figure 2.4 是本例的列图像这些列向量的线性组合可以产生任意的 b \boldsymbol b b 当 b ( 6 , 4 , 2 ) \boldsymbol b(6,4,2) b(6,4,2) 时需要的组合是第三列乘 2 2 2系数为 x 0 , y 0 , z 2 x0,y0,z2 x0,y0,z2。 行图像中的三个平面也是相交于这一点 ( 0 , 0 , 2 ) (0,0,2) (0,0,2)这个点就是列的正确组合 正确组合 ( x , y , z ) ( 0 , 0 , 2 ) 0 [ 1 2 6 ] 0 [ 2 5 − 3 ] 2 [ 3 2 1 ] [ 6 4 2 ] 正确组合(x,y,z)(0,0,2)\kern 16pt0\begin{bmatrix}1\\2\\6\end{bmatrix}0\begin{bmatrix}\kern 7pt2\\\kern 7pt5\\-3\end{bmatrix}2\begin{bmatrix}3\\2\\1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}6\\4\\2\end{bmatrix} 正确组合(x,y,z)(0,0,2)0 126 0 25−3 2 321 642
三、方程组的矩阵形式
行图像中有三行列图像中有三列三行三列有 9 9 9 个数字它们形成一个 3 × 3 3\times3 3×3 的矩阵 A A A A x b 的系数矩阵 A [ 1 2 3 2 5 2 6 − 3 1 ] A\boldsymbol x\boldsymbol b\,的系数矩阵\kern 15ptA\begin{bmatrix}123\\252\\6-31\end{bmatrix} Axb的系数矩阵A 12625−3321 大写字母 A A A 代表这 9 9 9 个数它们形成一个方阵字母 b \boldsymbol b b 表示列向量它的分量是 6 , 4 , 2 6,4,2 6,4,2。未知数 x \boldsymbol x x 也是一个列向量它的分量是 x , y , z x,y,z x,y,z。我们用粗体字母表示向量。对于方程组我们可以以三种形式来看式2.1.3是行形式式2.1.4是列形式式2.1.5是矩阵形式 矩阵方程 A x b [ 1 2 3 2 5 2 6 − 3 1 ] [ x y z ] [ 6 4 2 ] ( 2.1.5 ) 矩阵方程\,A\boldsymbol x\boldsymbol b\kern 15pt\begin{bmatrix}123\\252\\6-31\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}\begin{bmatrix}6\\4\\2\end{bmatrix}\kern 10pt(2.1.5) 矩阵方程Axb 12625−3321 xyz 642 (2.1.5)下面讨论一个问题 A A A 乘 x \boldsymbol x x 的意义 x \boldsymbol x x 可以被行乘也可以被列乘它们是同样东西以不同形式来理解。 被行乘 A x 代表 点积 每个行乘列 x A x [ ( r o w 1 ) ⋅ x ( r o w 2 ) ⋅ x ( r o w 3 ) ⋅ x ] ( 2.1.6 ) A\boldsymbol x\,代表\textbf{点积}每个行乘列\,\boldsymbol x\kern 15ptA\boldsymbol x\begin{bmatrix}(row\,1)\cdot\boldsymbol x\\(row\,2)\cdot\boldsymbol x\\(row3)\cdot\boldsymbol x\end{bmatrix}\kern 10pt(2.1.6) Ax代表点积每个行乘列xAx (row1)⋅x(row2)⋅x(row3)⋅x (2.1.6) 被列乘 A x 是 列向量的线性组合 A x x ( c o l u m n 1 ) y ( c o l u m n 2 ) z ( c o l u m n 3 ) ( 2.1.7 ) A\boldsymbol x\,是\textbf{列向量的线性组合}\kern 11ptA\boldsymbol xx(column\,1)y(column\,2)z(column\,3)\kern 11pt(2.1.7) Ax是列向量的线性组合Axx(column1)y(column2)z(column3)(2.1.7)将解 x ( 0 , 0 , 2 ) \boldsymbol x(0,0,2) x(0,0,2) 代入 A x A\boldsymbol x Ax 将产生 b \boldsymbol b b [ 1 2 3 2 5 2 6 − 3 1 ] [ 0 0 2 ] 2 × ( c o l u m n 3 ) [ 6 4 2 ] \begin{bmatrix}123\\252\\6-31\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\\0\\2\end{bmatrix}2\times(column\,3)\begin{bmatrix}6\\4\\2\end{bmatrix} 12625−3321 002 2×(column3) 642 用行形式来解释则第一行的点积 ( 1 , 2 , 3 ) ⋅ ( 0 , 0 , 2 ) 6 (1,2,3)\cdot(0,0,2)6 (1,2,3)⋅(0,0,2)6第二行的点积 ( 2 , 5 , 2 ) ⋅ ( 0 , 0 , 2 ) 4 (2,5,2)\cdot(0,0,2)4 (2,5,2)⋅(0,0,2)4第三行的点积 ( 6 , − 3 , 1 ) ⋅ ( 0 , 0 , 2 ) 2 (6,-3,1)\cdot(0,0,2)2 (6,−3,1)⋅(0,0,2)2。用列形式来解释则 b \boldsymbol b b 为第三列的 2 2 2 倍。今后主要将 A x A\boldsymbol x Ax 当做是 A A A 列的组合。
【例1】 3 × 3 3\times3 3×3 的矩阵 A A A 和单位矩阵 I I I A x [ 1 0 0 1 0 0 1 0 0 ] [ 4 5 6 ] [ 4 4 4 ] I x [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] [ 4 5 6 ] [ 4 5 6 ] A\boldsymbol x\begin{bmatrix}100\\100\\100\end{bmatrix}\begin{bmatrix}4\\5\\6\end{bmatrix}\begin{bmatrix}4\\4\\4\end{bmatrix}\kern 10ptI\boldsymbol x\begin{bmatrix}100\\010\\001\end{bmatrix}\begin{bmatrix}4\\5\\6\end{bmatrix}\begin{bmatrix}4\\5\\6\end{bmatrix} Ax 111000000 456 444 Ix 100010001 456 456 通过行形式和列形式都可以得出结果。 单位矩阵 I I I 的主对角线都是 1 1 1这个矩阵乘任何向量都是原来的向量就像 1 1 1 乘上任何数一样不同的是现在是矩阵乘向量。本例中的 I I I 是 3 × 3 3\times3 3×3 的单位矩阵 I [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] I x x 总成立 I\begin{bmatrix}100\\010\\001\end{bmatrix}\kern 10ptI\boldsymbol x\boldsymbol x\,总成立 I 100010001 Ixx总成立
四、矩阵表示法
一个 2 × 2 2\times2 2×2 的矩阵的第一行是 a 11 a_{11} a11 和 a 12 a_{12} a12第二行是 a 21 a_{21} a21 和 a 22 a_{22} a22。第一个下标表示行数第二个下标表示列数所以 a i j a_{ij} aij 是第 i i i 行第 j j j 列的单元。由于下标不方便打出来所以 a i j a_{ij} aij 也可以用 A ( i , j ) A(i,j) A(i,j) 来表示。例如单元 a 57 A ( 5 , 7 ) a_{57}A(5,7) a57A(5,7) 就在第 5 5 5 行第 7 7 7 列。 A [ a 11 a 12 a 21 a 22 ] [ A ( 1 , 1 ) A ( 1 , 2 ) A ( 2 , 1 ) A ( 2 , 2 ) ] A\begin{bmatrix}a_{11}a_{12}\\a_{21}a_{22}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}A(1,1)A(1,2)\\A(2,1)A(2,2)\end{bmatrix} A[a11a21a12a22][A(1,1)A(2,1)A(1,2)A(2,2)]对于 m × n m\times n m×n 的矩阵行的下标 i i i 从 1 1 1 到 m m m列的下表 j j j 从 1 1 1 到 n n n它共有 m n mn mn 个单元 a i j A ( i , j ) a_{ij}A(i,j) aijA(i,j)一个 n n n 阶的方形矩阵有 n 2 n^2 n2 个单元。
五、MATLAB 中的矩阵乘法
定义矩阵 A A A 和 列向量 x \boldsymbol x x其中 R n R^n Rn n n n 维空间中的向量 x \boldsymbol x x 表示一个 n × 1 n\times1 n×1 的矩阵输入矩阵时每次输入一行用分号 ; 表示一行的结束。输入列向量 x \boldsymbol x x 可以直接以列形式输入也可以用行形式输入然后用 ’ 表示转置 在 MATLAB 中有三种方法可以得到 A x A\boldsymbol x Ax 1可以直接使用 MATLAB 语言得到矩阵乘法 b A ∗ x bA*x bA∗x 2一次处理一行即点积的形式选出 A A A 的每一行将其视为 1 × 3 1\times3 1×3 的矩阵可以表示为 A ( 1 , : ) A(1,:) A(1,:)。在这里冒号 : 代表一行的全部列。 b [ A ( 1 , : ) ∗ x ; A ( 2 , : ) ∗ x ; A ( 3 , : ) ∗ x ] b[A(1,:)*x;\,A(2,:)*x;\,A(3,:)*x] b[A(1,:)∗x;A(2,:)∗x;A(3,:)∗x] 3一次处理一列即列的线性组合。第一列是 3 × 1 3\times1 3×1 的子矩阵 A ( : , 1 ) A(:,1) A(:,1)这里冒号 : 代表一列的全部行。 b A ( : , 1 ) ∗ x ( 1 ) A ( : , 2 ) ∗ x ( 2 ) A ( : , 3 ) ∗ x ( 3 ) bA(:,1)*x(1)A(:,2)*x(2)A(:,3)*x(3) bA(:,1)∗x(1)A(:,2)∗x(2)A(:,3)∗x(3) MATLAB 中 A ∗ x A*x A∗x 是用列的形式来实现的。 六、主要内容总结
向量的基本运算是数乘 c v c\boldsymbol v cv 和向量的加法 v w \boldsymbol v\boldsymbol w vw。将向量的数乘与加法相结合可以得到线性组合 c v d w c\boldsymbol vd\boldsymbol w cvdw。矩阵 – 向量的乘法 A x A\boldsymbol x Ax 可以由点积得到一次处理一行也可以由 A A A 的列的线性组合得到一次处理一列。列图像 A x b A\boldsymbol x\boldsymbol b Axb 是找到列的线性组合产生 b \boldsymbol b b。行图形 A x b A\boldsymbol x\boldsymbol b Axb 的每个方程会得到一条直线 n 2 n2 n2或一个平面 n 3 n3 n3或一个超平面 n 3 n3 n3。如果仅有一个解会相交于一点若有很多解会相交成直线、平面、或超平面。
七、例题
【例2】描述三个方程 A x b A\boldsymbol x\boldsymbol b Axb 的列图像仔细观察列不使用消元法求解 { x 3 y 2 z − 3 2 x 2 y 2 z − 2 3 x 5 y 6 z − 5 [ 1 3 2 2 2 2 3 5 6 ] [ x y z ] [ − 3 − 2 − 5 ] \left\{\begin{matrix}x3y2z-3\\2x2y2z-2\\3x5y6z-5\end{matrix}\right.\kern 15pt\begin{bmatrix}132\\222\\356\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-3\\-2\\-5\end{bmatrix} ⎩ ⎨ ⎧x3y2z−32x2y2z−23x5y6z−5 123325226 xyz −3−2−5 解 列图像是寻找 A A A 三个列正确的线性组合产生 b \boldsymbol b b。通过观察可以发现 b \boldsymbol b b 是第二列的相反数所以可得 x 0 , y − 1 , z 0 x0,y-1,z0 x0,y−1,z0。若是要证明 ( 0 , − 1 , 0 ) (0,-1,0) (0,−1,0) 是唯一解需要确认 A A A 可逆三个列之间是无关的行列式不为 0 0 0。
【例3】下面的系统无解。行图像中的平面并没有相交于一点。即并不存在三个列的线性组合可以产生 b \boldsymbol b b。 { x 3 y 5 z 4 x 2 y − 3 z 5 2 x 5 y 2 z 8 [ 1 3 5 1 2 − 3 2 5 2 ] [ x y z ] [ 4 5 8 ] b \left\{\begin{matrix}x3y5z4\\x2y-3z5\\2x5y2z8\end{matrix}\right.\kern 15pt\begin{bmatrix}135\\12-3\\252\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}\begin{bmatrix}4\\5\\8\end{bmatrix}\boldsymbol b ⎩ ⎨ ⎧x3y5z4x2y−3z52x5y2z8 1123255−32 xyz 458 b方程 1 1 1方程2-方程3可得 0 1 01 01所以该系统无解。向量 ( 1 , 1 , − 1 ) (1,1,-1) (1,1,−1) 与 A A A 的三个列均正交orthogonal但是与 b \boldsymbol b b 不正交。 1三个平面中存在两个互相平行的平面吗什么方程与平面 x 3 y 5 z 4 x3y5z4 x3y5z4 平行 2计算 A A A 每一列与 y ( 1 , 1 , − 1 ) \boldsymbol y(1,1,-1) y(1,1,−1) 的点积 b \boldsymbol b b 与 y \boldsymbol y y 的点积。这些点积如何能表明 A A A 列的线性组合无法产生 b \boldsymbol b b 3求出右侧三个不同的向量 b ∗ , b ∗ ∗ , b ∗ ∗ ∗ \boldsymbol b^*,\boldsymbol b^{**},\boldsymbol b^{***} b∗,b∗∗,b∗∗∗使得方程有解。 解1这三个平面中没有两个平行的平面它们也没有相交于一点如下图。将 4 4 4 改成任意实数都可以得到与 x 3 y 5 z 4 x3y5z4 x3y5z4 平行的平面例如 x 3 y 5 z 0 x3y5z0 x3y5z0 是一个过原点 ( 0 , 0 , 0 ) (0,0,0) (0,0,0) 的平面。 2 A A A 的每一列与 y \boldsymbol y y 的点积都为 0 0 0。 y ⋅ b ( 1 , 1 , − 1 ) ⋅ ( 4 , 5 , 8 ) 1 \boldsymbol y\cdot\boldsymbol b(1,1,-1)\cdot(4,5,8)1 y⋅b(1,1,−1)⋅(4,5,8)1 不为 0 0 0代入 A x b A\boldsymbol x\boldsymbol b Axb 可得 0 1 01 01这是不可能的所以无解也就表明 A A A 列的线性组合无法产生 b \boldsymbol b b。 3当 b \boldsymbol b b 是 A A A 列的线性组合时则有解。当对应的解 x ∗ ( 1 , 0 , 0 ) \boldsymbol x^{*}(1,0,0) x∗(1,0,0) x ∗ ∗ ( 1 , 1 , 1 ) \boldsymbol x^{**}(1,1,1) x∗∗(1,1,1) x ∗ ∗ ∗ ( 0 , 0 , 0 ) \boldsymbol x^{***}(0,0,0) x∗∗∗(0,0,0) 时可以得到 b ∗ [ 1 1 2 ] b ∗ ∗ [ 9 0 9 ] b ∗ ∗ ∗ [ 0 0 0 ] \boldsymbol b^*\begin{bmatrix}1\\1\\2\end{bmatrix}\kern 10pt\boldsymbol b^{**}\begin{bmatrix}9\\0\\9\end{bmatrix}\kern 10pt\boldsymbol b^{***}\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix} b∗ 112 b∗∗ 909 b∗∗∗ 000
