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普里姆(Prim)算法#xff0c;是用来求加权连通图的最小生成树的算法。
基本思想 对于图G而言#xff0c;V是所有顶点的集合#xff1b;现在#xff0c;设置两个新的集合U和T#xff0c;其中U用于存放G的最小生成树中的顶点#xff0c;T存放G的最小生成树中…prime算法
普里姆(Prim)算法是用来求加权连通图的最小生成树的算法。
基本思想 对于图G而言V是所有顶点的集合现在设置两个新的集合U和T其中U用于存放G的最小生成树中的顶点T存放G的最小生成树中的边。 从所有uЄUvЄ(V-U) (V-U表示出去U的所有顶点)的边中选取权值最小的边(u, v)将顶点v加入集合U中将边(u, v)加入集合T中如此不断重复直到UV为止最小生成树构造完毕这时集合T中包含了最小生成树中的所有边。
邻接矩阵实现
基本定义
class MatrixUDG {#define MAX 100#define INF (~(0x131)) // 无穷大(即0X7FFFFFFF)private:char mVexs[MAX]; // 顶点集合int mVexNum; // 顶点数int mEdgNum; // 边数int mMatrix[MAX][MAX]; // 邻接矩阵public:// 创建图(自己输入数据)MatrixUDG();// 创建图(用已提供的矩阵)//MatrixUDG(char vexs[], int vlen, char edges[][2], int elen);MatrixUDG(char vexs[], int vlen, int matrix[][9]);~MatrixUDG();// 深度优先搜索遍历图void DFS();// 广度优先搜索类似于树的层次遍历void BFS();// prim最小生成树(从start开始生成最小生成树)void prim(int start);// 打印矩阵队列图void print();private:// 读取一个输入字符char readChar();// 返回ch在mMatrix矩阵中的位置int getPosition(char ch);// 返回顶点v的第一个邻接顶点的索引失败则返回-1int firstVertex(int v);// 返回顶点v相对于w的下一个邻接顶点的索引失败则返回-1int nextVertex(int v, int w);// 深度优先搜索遍历图的递归实现void DFS(int i, int *visited);};
MatrixUDG是邻接矩阵对应的结构体。 mVexs用于保存顶点mVexNum是顶点数mEdgNum是边数mMatrix则是用于保存矩阵信息的二维数组。例如mMatrix[i][j]1则表示”顶点i(即mVexs[i])”和”顶点j(即mVexs[j])”是邻接点mMatrix[i][j]0则表示它们不是邻接点。
prime算法
/** prim最小生成树** 参数说明* start -- 从图中的第start个元素开始生成最小树*/
void MatrixUDG::prim(int start)
{int min,i,j,k,m,n,sum;int index0; // prim最小树的索引即prims数组的索引char prims[MAX]; // prim最小树的结果数组int weights[MAX]; // 顶点间边的权值// prim最小生成树中第一个数是图中第start个顶点因为是从start开始的。prims[index] mVexs[start];// 初始化顶点的权值数组// 将每个顶点的权值初始化为第start个顶点到该顶点的权值。for (i 0; i mVexNum; i )weights[i] mMatrix[start][i];// 将第start个顶点的权值初始化为0。// 可以理解为第start个顶点到它自身的距离为0。weights[start] 0;for (i 0; i mVexNum; i){// 由于从start开始的因此不需要再对第start个顶点进行处理。if(start i)continue;j 0;k 0;min INF;// 在未被加入到最小生成树的顶点中找出权值最小的顶点。while (j mVexNum){// 若weights[j]0意味着第j个节点已经被排序过(或者说已经加入了最小生成树中)。if (weights[j] ! 0 weights[j] min){min weights[j];k j;}j;}// 经过上面的处理后在未被加入到最小生成树的顶点中权值最小的顶点是第k个顶点。// 将第k个顶点加入到最小生成树的结果数组中prims[index] mVexs[k];// 将第k个顶点的权值标记为0意味着第k个顶点已经排序过了(或者说已经加入了最小树结果中)。weights[k] 0;// 当第k个顶点被加入到最小生成树的结果数组中之后更新其它顶点的权值。for (j 0 ; j mVexNum; j){// 当第j个节点没有被处理并且需要更新时才被更新。if (weights[j] ! 0 mMatrix[k][j] weights[j])weights[j] mMatrix[k][j];}}// 计算最小生成树的权值sum 0;for (i 1; i index; i){min INF;// 获取prims[i]在mMatrix中的位置n getPosition(prims[i]);// 在vexs[0...i]中找出到j的权值最小的顶点。for (j 0; j i; j){m getPosition(prims[j]);if (mMatrix[m][n]min)min mMatrix[m][n];}sum min;}// 打印最小生成树cout PRIM( mVexs[start] ) sum : ;for (i 0; i index; i)cout prims[i] ;cout endl;
}
kruskal算法
克鲁斯卡尔(Kruskal)算法是用来求加权连通图的最小生成树的算法。
基本思想按照权值从小到大的顺序选择n-1条边并保证这n-1条边不构成回路。 具体做法首先构造一个只含n个顶点的森林然后依权值从小到大从连通网中选择边加入到森林中并使森林中不产生回路直至森林变成一棵树为止。
克鲁斯卡尔算法分析
根据前面介绍的克鲁斯卡尔算法的基本思想和做法我们能够了解到克鲁斯卡尔算法重点需要解决的以下两个问题 问题一 对图的所有边按照权值大小进行排序。 问题二 将边添加到最小生成树中时怎么样判断是否形成了回路。
问题一很好解决采用排序算法进行排序即可。
问题二处理方式是记录顶点在”最小生成树”中的终点顶点的终点是”在最小生成树中与它连通的最大顶点”(关于这一点后面会通过图片给出说明) 。然后每次需要将一条边添加到最小生存树时判断该边的两个顶点的终点是否重合重合的话则会构成回路。 以下图来进行说明
在将
// 边的结构体
class EData
{public:char start; // 边的起点char end; // 边的终点int weight; // 边的权重public:EData(){}EData(char s, char e, int w):start(s),end(e),weight(w){}
};
EData是邻接矩阵边对应的结构体。
class MatrixUDG {#define MAX 100#define INF (~(0x131)) // 无穷大(即0X7FFFFFFF)private:char mVexs[MAX]; // 顶点集合int mVexNum; // 顶点数int mEdgNum; // 边数int mMatrix[MAX][MAX]; // 邻接矩阵public:// 创建图(自己输入数据)MatrixUDG();// 创建图(用已提供的矩阵)//MatrixUDG(char vexs[], int vlen, char edges[][2], int elen);MatrixUDG(char vexs[], int vlen, int matrix[][9]);~MatrixUDG();// 深度优先搜索遍历图void DFS();// 广度优先搜索类似于树的层次遍历void BFS();// prim最小生成树(从start开始生成最小生成树)void prim(int start);// 克鲁斯卡尔Kruskal)最小生成树void kruskal();// 打印矩阵队列图void print();private:// 读取一个输入字符char readChar();// 返回ch在mMatrix矩阵中的位置int getPosition(char ch);// 返回顶点v的第一个邻接顶点的索引失败则返回-1int firstVertex(int v);// 返回顶点v相对于w的下一个邻接顶点的索引失败则返回-1int nextVertex(int v, int w);// 深度优先搜索遍历图的递归实现void DFS(int i, int *visited);// 获取图中的边EData* getEdges();// 对边按照权值大小进行排序(由小到大)void sortEdges(EData* edges, int elen);// 获取i的终点int getEnd(int vends[], int i);
};
MatrixUDG是邻接矩阵对应的结构体。 mVexs用于保存顶点mVexNum是顶点数mEdgNum是边数mMatrix则是用于保存矩阵信息的二维数组。例如mMatrix[i][j]1则表示”顶点i(即mVexs[i])”和”顶点j(即mVexs[j])”是邻接点mMatrix[i][j]0则表示它们不是邻接点。
/** 克鲁斯卡尔Kruskal)最小生成树*/
void MatrixUDG::kruskal()
{int i,m,n,p1,p2;int length;int index 0; // rets数组的索引int vends[MAX]{0}; // 用于保存已有最小生成树中每个顶点在该最小树中的终点。EData rets[MAX]; // 结果数组保存kruskal最小生成树的边EData *edges; // 图对应的所有边// 获取图中所有的边edges getEdges();// 将边按照权的大小进行排序(从小到大)sortEdges(edges, mEdgNum);for (i0; imEdgNum; i){p1 getPosition(edges[i].start); // 获取第i条边的起点的序号p2 getPosition(edges[i].end); // 获取第i条边的终点的序号m getEnd(vends, p1); // 获取p1在已有的最小生成树中的终点n getEnd(vends, p2); // 获取p2在已有的最小生成树中的终点// 如果m!n意味着边i与已经添加到最小生成树中的顶点没有形成环路if (m ! n){vends[m] n; // 设置m在已有的最小生成树中的终点为nrets[index] edges[i]; // 保存结果}}delete[] edges;// 统计并打印kruskal最小生成树的信息length 0;for (i 0; i index; i)length rets[i].weight;cout Kruskal length : ;for (i 0; i index; i)cout ( rets[i].start , rets[i].end ) ;cout endl;
}
References Prim算法(二)之 C详解 - 如果天空不死 - 博客园
Kruskal算法(二)之 C详解 - 如果天空不死 - 博客园
