个人备案的域名可以做网站吗,网页制作软件html,网站空间 php,专业的网站制作公司地址浮点数的计算机表示(IEEE 754)#xff0c;由 UCB 数学教授 William Kahan 主要起草。后者也因其卓越贡献于1989年获得图灵奖。计算机组成原理与汇编语言这两门课均对该内容有所讲解。与课程中直接抛出公式与概念不同#xff0c;我想首先与各位探讨科学计数法这个… 浮点数的计算机表示(IEEE 754)由 UCB 数学教授 William Kahan 主要起草。后者也因其卓越贡献于1989年获得图灵奖。计算机组成原理与汇编语言这两门课均对该内容有所讲解。与课程中直接抛出公式与概念不同我想首先与各位探讨科学计数法这个概念进而讨论设计二进制的科学计数法需要涉及到哪些元素。接着我们讨论如何在内存上表达这个方案。最后讨论计算机的具体实现。科学计数法我们都了解科学计数法。科学计数法的精妙之处在于其将量级与数值两个信息拆分让使用者对这两个信息更加明确。如上我们可以将任何有理数拆分成的形式。值得注意的是的取值范围是一定是一个整数对于任何有理数我们都可以用两个范围狭小(规则明确)的数字 B 与 C 来表示。此外我们知道十进制只不过是记录数字大小的一种方式而已。历史上出现过的二进制、三进制、二十进制都可以毫无障碍地表示数字并且还有其独具的数学特性。那么二进制可以用科学计数法表示吗答案当然是肯定的。二进制的科学计数法注意这里下标2代表这个数是二进制。 同理对应十进制中的数字。通过观察十进制的科学计数法形式对于二进制我们自然可以做出如下约定的取值范围是一定是一个整数这里我们补充说明一下二进制的小数是什么样的。对于 这个十进制数如果要将其转换为二进制将其整数部分与小树部分分开对于整数部分 5 我们使用不断除以2取余数的方法得到 101 ;对于小数部分 .25 我们使用不断乘以2取整数的方法得到 .01 。关于进制转换的具体方法与背后的数学原理我写过一篇文章进行讨论见这里十进制转二进制 / 八进制 / 十六进制的手算方法及其数学原理的通俗解释。这里我们只需要明确二进制是存在小数形式的且可以表示一切十进制可表示的数(的近似)。计算机如何记录二进制的科学计数法接着我们步入正题只会表示0/1的计算机如何记录并表达浮点数呢给一个32位的空间如果不做任何约束我们只能将其理解为一个整数并且其取值范围为 。这是因为计算机只能记录 0 和 1 这两个信息并不能直接记录小数点点在哪里。因此我们需要设置一定规则取出一定位用于表示小数点点在哪里。这必将牺牲一定的精度与取值范围。因此我们将这 32 位空间分为三部分第一部分用于表示精度即这个数字值是多少对应上面的B第二部分用于表示小数点即量级对应上面的C第三部分用于表示正负只需要使用1位。在 IEEE 754 中我们分别将上述一、二、三部分叫做尾数M阶码E符号s。于是我们有了二进制的表达式为了表示尽可能多的、常用的小数我们有如下需求对于符号位 s 如果该位上是 0 则为正数为 1 则为负数。对于尾数 M 其取值范围为 对于阶码 E 其为一个整数并且取值范围应该包含负数、0、正数。可以注意到对于 M 、 E 我们并不能直接用二进制表示还需要设定一定规则。尾数 M假设尾数 M 一共有 f 位则 f 可表示的整数取值范围为 我们称 f 直接对应的非负整数为 C 。为了将其投影到 我们做出如下变换解码 E假设解码 E 一共有 e 位则 e 可表示的整数取值范围为 我们称 e 直接对应的非负整数为 Exp 。我们希望 E 可以取到负数因此做出如下变换这样我们的 E 取值范围就来到了 。总结有了如上设计的规则我们便知晓了计算机记录浮点数的方式以及转换流程。以下图为例。二进制转换到其对应的十进制数0.15625过程知识点与例题上面我们讨论了 IEEE 754 的思想但是并不严谨比如正负无穷该怎么表达如此表示会不会造成空间的浪费...因此我们从数学上严谨地讨论一道例题考虑一下规格化浮点数。例题源自我的汇编语言笔记。题目给定一个浮点格式(IEEE 754)有k位指数和n位小数对于下列数写出阶码E、尾数M、小数f和值V的公式。另外请描述其位表示。数5.0能够被准确描述的最大奇数最小的正规格化数。解决前置知识一IEEE 754IEEE 754约定计算机中浮点数二进制表示为数字形式符号s尾数M是一个位于区间[1.0, 2.0)内的小数阶码E编码形式exp域E(注意E要进行变换再存储在exp中) frac域M。前置知识二规格化浮点数(Normalized)这里讨论到规格化浮点数(Normalized)满足条件exp不全为0且不全为1。真实的阶码值需要减去一个偏置(biased)量单精度数127(Exp1...254E-126...127)双精度数1023(Exp1...2046E-1022...1023)e exp的域的位数E Exp - BiasExpexp域所表示的无符号数值Bias的取值frac的第一位隐含1M 1.xxx...x_2因此第一位的“1”可以省去xxx...xbits of fracMinimum when 000...0 ()Maximum when 111...1 ()前置工作一整理变量关系则E为E最大值为。(为什么不是呢因为有规定exp全部取1为“非规格化浮点数”因此规格化浮点数中exp不能全部取1顶多为(1)*(0))E的最小值为。(为什么不是呢因为有规定exp全部取0为“非规格化浮点数”因此规格化浮点数中exp不能全部取0顶多为(0)*(1))前置工作二总结特性抛开例题来看一个例子8位浮点数表示exp域宽度为4 bitsfrac域宽度为3 bits。则其偏置量的值为2^(4-1) - 1 7.其他规则符合IEEE 754规范。取值范围如下表。sexpfracEvalue00000000-6000000001-61/8 * 1/64 1/51200000010-62/8 * 1/64 2/512...00000110-66/8 * 1/64 6/51200000111-67/8 * 1/64 7/51200001000-68/8 * 1/64 8/51200001001-69/8 * 1/64 9/512...00110110-114/8 * 1/2 14/1600110111-115/8 * 1/2 15/160011100008/8 * 1 10011100109/8 * 1 9/800111010010/8 * 1 10/8...01110110714/8 * 128 22401110111715/8 * 128 24001111000n/ainf可以看出假设frac有f位则M可视为其中C是整数由frac决定即并且C满足。则浮点数V的十进制即为也可写作其中、分别为exp、frac位数为常数。解决问题一数0.5较为简单直接解决如下。0.5 则位的描述为sexpfrac0bin(-1 (2^(e-1) - 1))00....(共n位)解决问题二能够被准确描述的最大奇数根据前置工作二可以看出对于规格化浮点数可化简为现在的任务有两个是整数不能有小数(则应大于等于)是奇数(不是奇数因此使为奇数则取1则取)。下面分类讨论情况一E可以取到f时即时取取其能取的最大奇数对应的二进制为 expdec2bin()frac1*(frac全为1)情况二E取不到f时这种情况不可能因为E取不到f则很多整数都不能表示。解决问题三最小的正规格化数观察则取、分别取最小。由前置工作一取取对应的二进制为 exp0*1frac0*后记我第一学习浮点数是在2019年年末当时对于浮点数的笔记和理解是有问题的。在此感谢一位湖南大学的朋友(公众号 / CSDN梓酥)给我发邮件指出我的问题~感谢你读到最后我是小拍一名计算机技术爱好者觉得文章不错的话可以点击“在看”支持我一下有任何批评建议或者合作事宜可以给我发邮件 piperliuqq.com 或者关注公众Piper蛋窝回复「微信」来加我微信联系~
