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—— 沃兹基硕德 本章目录
Ⅰ. 浮点类型Float Point
0x00 引入什么是浮点数
0x01 单精度浮点型float
0x02 双精度浮点型double
0x03 浮点数 “精度丢失” 问题
0x04 浮点数类型的表达方式
* 0x05 复数浮点型complex_float / complex double
Ⅱ. 二进制浮点数算术标准IEEE754
0x00 引入浮点数的存储
0x01 IEEE754 规定
0x02 阅读雷神之锤 III 源码中的 平方根倒数速算法
Ⅲ. 浮点数类型的表达方式Float Expression
0x00 引入浮点数类型的表示
0x01 十进制小数型x.
0x02 指数型xEn Ⅰ. 浮点类型Float Point
0x00 引入什么是浮点数 在讲解浮点类型前我们不妨先先来了解一下什么是浮点数浮点 (float point)
顾名思义就是 一个漂浮的点其英文 float 也是这个含义浮动, 漂浮之意。 因此浮点数指的是一个数的小数点的位置不是固定的而是可以浮动的。
浮点数在数学中的定义浮点数是属于有理数中某个特定子集的数的数字表示。
C 语言的浮点型是用来存放小数类型的数字的可分为 单精度 和 双精度我们稍后会作讲解。 程序员不得不知道的标准IEEE754 标准
电气电子工程师学会 (IEEE) 颁布过一个浮点数标准全称 IEEE 二进制浮点算数标准。
简称 IEEE754是被绝大部分 CPU 和浮点运算器所采用的一套浮点数标准。 0x01 单精度浮点型float
我们可以用 float 类型来表示小数称为 单精度浮点型 (single floating-point) 。
float 变量名 值;
float 的精度为 6~7 位小数float 类型占 4 个字节。
我们来使用 float 定义一些变量
float height 170.00;
float weight 50.5;
float pi 3.14;
float zero 0.0;
我们可以使用 float 专属的格式化字符 %f 来打印浮点类型变量。 代码演示打印浮点数
#include stdio.hint main(void)
{float pi 3.14;printf(%f, pi);return 0;
} 运行结果3.140000 此时我们发现结果为 3.140000而不是 3.14因为把精度全部都打出来了。
我们可以用 %.Xf 来控制保留小数点位数其中 X 是几就保留几位。
这里我们想保留两位所以 %.2f 即可
#include stdio.hint main(void)
{float pi 3.14;printf(%.2f, pi);return 0;
} 运行结果3.14 0x02 双精度浮点型double
刚才介绍了单精度浮点型 float表示的数需要的精度较低就可以用 float 来定义。
如果表示的数要求的精度较高我们就可以使用 double 类型来定义。
double 即 双精度浮点型 (double floating-point)double 类型的精度比 float 类型要高得多。
double 变量名 值;
double 类型的精度为 15~16 位小数相应的占的字节数也更多double 类型占 8 个字节。
我们可以使用 double 专属的格式化字符 %lf 来打印 double 类型的变量
#include stdio.hint main(void)
{double pi 3.141592;printf(%lf\n, pi);return 0;
} 运行结果3.141592 0x03 浮点数 “精度丢失” 问题
浮点数精度丢失是指在使用浮点数进行数值计算时由于浮点数的二进制表示方式的特殊性导致某些精确的数值无法准确表示从而引起计算结果的误差。
浮点数在计算机中使用二进制表示通常采用IEEE 754标准来表示单精度浮点数32位和双精度浮点数64位。无论是单精度还是双精度浮点数都有固定的位数来表示整数部分和小数部分这就导致了有些十进制数无法用有限的二进制位数准确表示。
例如考虑一个简单的示例计算 0.1 0.2。在十进制中这个结果是 0.3但是在浮点数表示中由于 0.1 和 0.2 的二进制表示是无限循环的所以它们的精确表示会受到限制。因此计算机在进行浮点数计算时可能得到一个近似的结果比如 0.30000000000000004。
浮点数精度丢失问题还可能在连续的计算中累积误差导致最终结果的精度下降。这是由于浮点数的表示范围是有限的无法表示所有的实数因此在计算过程中可能会出现舍入误差和截断误差。 * 0x05 复数浮点型complex_float / complex double
C99 标准新增了复数类型 _Complex 和虚部类型 _lmaginary。
定义复数浮点型前需引入头文件 complex.h定义格式如下
#include complex.hfloat complex a 3.0 4.0 * I;
double complex b 4.0 - 5.0 * I;其中 表示虚数单位complex 可以根据我们需要的精度定义。
C 语言不仅支持复数浮点型的加减乘除操作还支持求模、求共轭等操作。 代码演示完成一些复数操作
#include stdio.h
#include complex.hint main(void)
{// 定义两个复数double complex num1 2.5 3.7 * I;double complex num2 1.8 - 2.3 * I;// 加法double complex sum num1 num2;printf(%.2f %.2fi\n, creal(sum), cimag(sum));// 减法double complex diff num1 - num2;printf(%.2f %.2fi\n, creal(diff), cimag(diff));// 乘法double complex product num1 * num2;printf(%.2f %.2fi\n, creal(product), cimag(product));// 除法double complex quotient num1 / num2;printf(%.2f %.2fi\n, creal(quotient), cimag(quotient));// 求模double modulus cabs(num1);printf(%.2f\n, modulus);// 求共轭double complex conjugate conj(num1);printf(%.2f %.2fi\n, creal(conjugate), cimag(conjugate));return 0;
}运行结果如下 4.30 1.40i 0.70 6.00i 13.01 0.91i -0.47 1.45i 4.47 2.50 -3.70i Ⅱ. 二进制浮点数算术标准IEEE754
0x00 引入浮点数的存储
在讲解之前我们先来试着观察下列程序的输出结果
int main(void)
{int n 9;float* pFloat (float*)n;printf(n的值为: %d\n, n);printf(*pFloat的值为 %f\n, *pFloat);*pFloat 9.0;printf(num的值为: %d\n, n);printf(*pFloat的值为: %f\n, *pFloat);return 0;
} 运行结果如下
❓ 思考num 和 *pFloat 在内存中明明是同一个数为什么浮点数和整数的结果会差这么大
由此可以看出浮点数和整数在内存中的存储方式一定是有区别的。
那么具体是什么样的区别着我们就不得不去介绍开篇提到的 IEEE754 规定了。 0x01 IEEE754 规定
IEEE754 规定任意一个二进制浮点数 可以表示成以下形式 其中 表示符号位当 时 为正数当 时 为负数 表示有效数字 表示指数位 举个例子浮点数 5.5
转换为二进制 IEEE 754 规定
对于 32 位浮点数最高的 1 位是符号位 接着 8 位是指数 剩下的 23 位是有效数字
对于 64 位浮点数最高的 1 位是符号位 接着 11 位是指数 剩下的 52 位是有效数字
IEEE 754 对有效数字M和指数E还有一些特别规定 前面说过 也就是说 可以写成 1.xxxxxx 的形 式其中 xxxxxx 表示小数部分。IEEE 754 规定在计算机内部保存 时默认这个数的第一位总是 1因此可以被舍去只保存后面的 xxxxxx 部分。 比如保存 1.01 的时候只保存 01等到读取的时候再把第一位的1加上去。这样做的目的是节省1位有效数字。以 32 位浮点数为例留给 M 只有 23 位将第一位的 1 舍去以后等于可以保存 24 位有效数字。 至于指数 E情况就比较复杂。 首先E为一个无符号整数unsigned int 这意味着如果E为8位它的取值范围为0~255如果E为11位它的 取值范围为0~2047。但是我们知道科学计数法中的E是可以出现负数的所以IEEE 754规定存入内存时E的真 实值必须再加上一个中间数对于8位的E这个中间数是127对于11位的E这个中间数是1023。比如2^10的E 是10所以保存成32位浮点数时必须保存成10127137即10001001。 然后指数E从内存中取出还可以再分成三种情况 E不全为0或不全为1 这时浮点数就采用下面的规则表示即指数E的计算值减去127或1023得到真实值再将有效数字M前 加上第一位的1。 比如 0.51/2的二进制形式为0.1由于规定正数部分必须为1即将小数点右移1位 则为1.0*2^(-1)其阶码为-1127126表示为01111110而尾数1.0去掉整数部分为0补齐0到23位 00000000000000000000000则其二进制表示形式为 0 01111110 00000000000000000000000 E全为0 这时浮点数的指数E等于1-127或者1-1023即为真实值 有效数字M不再加上第一位的1而是还原为 0.xxxxxx的小数。这样做是为了表示±0以及接近于0的很小的数字。 E全为1 这时如果有效数字M全为0表示±无穷大正负取决于符号位s 此时再看前面的例子问题就很好理解了
浮点数在内存中的分布符号位 指数位 尾部部分 0x02 阅读雷神之锤 III 源码中的 平方根倒数速算法 evil floating point bit level hacking, what the fuck?
—— Quake III 雷神之锤 III 游戏截图
雷神之锤III 是由 id Software 采用 id Tech3 引擎制作的多人连线 FPS 游戏1999年12月发行。玩家或独立或组队在地图中厮杀死亡后数秒即在地图某处重生。当某位或某队玩家达到胜利条件或者游戏持续一定时间后即宣告一个回合结束。胜利条件取决于选择的游戏模式。
雷神之锤 III 的源码中有一段震惊四座的代码
float Q_rsqrt( float number )
{long i;float x2, y;const float threehalfs 1.5f;x2 number * 0.5f;y number;i * ( long * ) y; // evil floating point bit level hackingi 0x5f3759df - ( i 1 ); // what the fuck?y * ( float * ) i;y y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 1st iteration// y y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 2nd iteration, this can be removedreturn y;
}这是一个快速逆平方根的算法求一个数的平方根的倒数。 常规的方法是调用 math 库里的 sqrt 求一个数的平方根求平方根的倒数只需要
float y 1 / sqrt(x);
而作者实现的算法要比这种常规方法快得多在计算浮点数的平方根倒数的同一精度的近似值时此算法比直接使用浮点数除法要快四倍。其中还有一串神秘数字0x5f3759df更是给这段代码留下了最具神秘、浓墨重彩的一笔。还对它进行了位移机器码位移WTF
该算法被称为 平方根倒数速算法 (Fast Inverse Square Root)对代码原理感兴趣的读者可以阅读下面这篇 wiki有对该算法详细的讲解。 链接Fast inverse square root Fast Inverse Square Root 的历史 Quake III Arena 是一款第一人称射击游戏由id Software于 1999 年发布并使用了该算法。Brian Hook 可能将 3dfx 的算法引入了 id Software。2000 年中国开发者论坛 CSDN 上出现了对该代码的讨论 以及2002 年和 2003 年Usenet和 gamedev.net 论坛广泛传播了该代码。人们猜测谁编写了该算法和常数是如何导出的有人猜测是约翰·卡马克。Quake III的完整源代码在QuakeCon 2005上发布但没有提供答案。作者身份问题已于 2006 年得到解答。2007 年该算法在一些使用现场可编程门阵列(FPGA)的专用硬件顶点着色器中实现。 Ⅲ. 浮点数类型的表达方式Float Expression
0x00 引入浮点数类型的表示
符合 C 标准法的浮点数有两种表达形式分别是 十进制小数型 和 指数型。 0x01 十进制小数型x.
十进制小数型由数字和小数点组成 举个例子下面这三种方式都是合法的
123. ✅
1.23 ✅
.123 ✅
小数点前后的数是可以省略的小数点不可省略省略了就不是浮点数了。 代码演示
#include stdio.hint main(void)
{float a 1.0;printf(%f\n, a);float b 1.;printf(%f\n, b);float c .1;printf(%f\n, c);return 0;
} 运行结果如下 0x02 指数型xEn
指数型由字母 和数字组成这里 也可以是小写 其中 必须是一个十进制小数型和上面的规则一样点的位置都是合法的。 必须是整型常量且不能是表达式并且 和 都不能省略。 举个例子只有前面 4 个是合法的
1.23e5 ✅
12345e6 ✅
3.14E7 ✅
.2e3 ✅
.e3 ❌ e 前面没有数
e3 ❌ e 前面没有数
3.14e ❌ e 后面没有数
3.e6.2 ❌ e 后面必须是整数
5.0e(14) ❌ 不能为表达式
指数型的表达方式非常苛刻这里有一个口诀方便大家记忆 E 前 E 后必有数E 后必定为整数。 代码演示
#include stdio.hint main(void)
{float a .23e4;printf(%f\n, a);float b 1234e6;printf(%f\n, b);float c 3.14E7;printf(%f\n, c);return 0;
}运行结果如下 [ 笔者 ] 王亦优 | 雷向明[ 更新 ] 2023.7.17 | 2023.7.20recently
❌ [ 勘误 ] /* 暂无 */[ 声明 ] 由于作者水平有限本文有错误和不准确之处在所难免本人也很想知道这些错误恳望读者批评指正 参考文献 - Creference[EB/OL]. []. http://www.cplusplus.com/reference/. - Microsoft. MSDN(Microsoft Developer Network)[EB/OL]. []. . - 百度百科[EB/OL]. []. https://baike.baidu.com/. - 维基百科[EB/OL]. []. https://zh.wikipedia.org/wiki/Wikipedia - R. Neapolitan, Foundations of Algorithms (5th ed.), Jones Bartlett, 2015. - B. 比特科技. C/C[EB/OL]. 2021[2021.8.31] - 林锐博士. 《高质量C/C编程指南》[M]. 1.0. 电子工业, 2001.7.24. - 陈正冲. 《C语言深度解剖》[M]. 第三版. 北京航空航天大学出版社, 2019. - 侯捷. 《STL源码剖析》[M]. 华中科技大学出版社, 2002. - T. Cormen《算法导论》第三版麻省理工学院出版社2009年。 - T. Roughgarden, Algorithms Illuminated, Part 1~3, Soundlikeyourself Publishing, 2018. - J. KleinbergE. Tardos, Algorithm Design, Addison Wesley, 2005. - R. SedgewickK. Wayne《算法》第四版Addison-Wesley2011 - S. Dasgupta《算法》McGraw-Hill教育出版社2006。 - S. BaaseA. Van Gelder, Computer Algorithms: 设计与分析简介》Addison Wesley2000。 - E. Horowitz《C语言中的数据结构基础》计算机科学出版社1993 - S. Skiena, The Algorithm Design Manual (2nd ed.), Springer, 2008. - A. Aho, J. Hopcroft, and J. Ullman, Design and Analysis of Algorithms, Addison-Wesley, 1974. - M. Weiss, Data Structure and Algorithm Analysis in C (2nd ed.), Pearson, 1997. - A. Levitin, Introduction to the Design and Analysis of Algorithms, Addison Wesley, 2003. - A. Aho, J. - E. Horowitz, S. Sahni and S. Rajasekaran, Computer Algorithms/C, Computer Science Press, 1997. - R. Sedgewick, Algorithms in C: 第1-4部分第三版Addison-Wesley1998 - R. Sedgewick《C语言中的算法》。第5部分第3版Addison-Wesley2002
