烟台城乡建设住建局网站,asp.net商务网站开发,响应式企业网站设计与实现,手机单机游戏网站大全数学基础#xff08;三#xff09; 从本节起#xff0c;我们开始进入大学数学的领域#xff0d;#xff0d;近世代数#xff08;也称抽象代数#xff09;。 先给出几个基本概念/定义。 [代数运算]#xff1a;对于集合A的任意元素a、b#xff0c;如果按某一运算法则三 从本节起我们开始进入大学数学的领域近世代数也称抽象代数。 先给出几个基本概念/定义。 [代数运算]对于集合A的任意元素a、b如果按某一运算法则通常用某个记号比如*来表示进行运算可以得到唯一的结果c∈A则称运算法则*为集合A上的一个二元代数运算。说明1、代数运算的实质是定义域和值域都在同一集合上的映射或函数。2、在此语境下我们也说“集合A在运算法则*下封闭”或“集合A对运算法则*封闭”这些说法都是等价的。3、我们讨论的代数运算都只涉及2个元素所以通常省去“二元”称为代数运算或者简称运算。4、需要明确的是*只是一个运算符号一个记号而已我们可以用、^等符号代替它。在上述定义中我们既不知道也不关心它具体是怎样运算的所以理论上可以随便用个符号代替当然在讨论某一个例时要尽量使用大家都认可的符号。我们真正关注的是在此定义下该运算法则具有哪些通用的代数学上的性质可以为我们所用。可以想见这些性质与具体运算法则无关却普遍适用这正是抽象的威力。 [代数系统]若集合A具有代数运算*即对*运算封闭则称(A*)是代数系统说明1、具有代数运算的集合或者对运算封闭的集合就是代数系统。代数运算和代数系统是一体两面。2、有时候在明确知道代数运算*的情况下可以省略运算符号直接称A是代数系统。事实上我们所讨论都是代数系统因为没有代数运算的集合没有多大用处。 举例对于整数集Z加法运算用加号表示和乘法运算用乘号*表示都是Z上的代数运算很简单是吧比如取a2、b3由加法运算法则得到结果5即235由乘法运算法则则得到结果6即2*36这说明Z、Z*构成代数系统。一个集合上可以有多个代数运算比如整数集Z上同时定义了加法和乘法运算。 对于商集Z/{[0]、[1]、[2]、…、[n-1]}在Z/上定义等价类之间的运算法则[i][j]≡[ij]其中i、j为等价类的代表元素说明1、≡读作“定义为”2、具体运算如下取两个等价类中的代表元素将它们相加然后再做[自然映射][自然映射]不记得请看前面的内容3、≡左边方括号[]之间的表示等价类之间的运算是新定义的运算法则的记号≡右边的在方括号号[]中表示普通的加法运算。4、参与运算的对象是等价类结果也是等价类。但是两个等价类“相加”即进行运算能否得到唯一的等价类还不明确因为同一等价类可以有多个代表元素它们相加后可能有多个结果对应的等价类也可能有多种结果。 幸运的是的运算结果是唯一的这是Z/能走入密码学的基础请见下面 定理是Z/上的代数运算证明设A、B是等价类i、j是A的代表元素s、t是B的代表元素故ijst根据的定义ijk*nstl*n其中k、l∈Zn是模还记得吗必须与某一个自然数n相关联两式相加得(is)(jt)(kl)*n这正是[i][s][j][t] 定理对于元素A,B,C∈Z/有(AB)CA(BC)左边等号表示A先加B得到的结果再加C证明设A[i]B[j]C[k]则 (AB)C([i][j])[k][ij][k][ijk][i][jk][i]([j][k])A(BC)说明上述情况下称“运算是可结合的”或“满足结合律”。 定理[0]是Z/中的特殊元素满足[0][i][i][0][i]其中i为Z/中任意等价类的代表元素证明[0][i][0i][i][i0][i][0] 定理对于任意元素A∈Z/都存在一个元素B∈Z/满足AB[0]BA证明设A[i]很明显只要取B[-i]就能够满足AB[i(-i)][0][(-i)i]BA [群]对于集合G给定G上的一个运算法则满足下列四个条件则称(G,)或G为一个群1、G对运算是封闭的即对任意元素a、b∈G有唯一确定的元素c∈G满足cab2、G对运算是可结合的即对任意a、b、c∈G满足a(bc)(ab)c3、G中有一元素e对任意a∈G满足aeeaa4、对于任意a∈G都有一个b∈G满足abbae说明1、条件3中的e称为单位元或恒等元条件4中的b称为a的可逆元或逆元有时记为a-12、条件4成立的前提是条件3中的单位元存在3、单位元是相对具体运算而言如果G中存在另外一个代数运算_则“对于任意aa_ee_ae”可能不成立即e可以不是运算_的单位元。4、再次强调只是运算法则的一个记号我们完全可以用、-、*来代替 根据上面的四个定理Z/对于运算构成一个群。我们说Z/是一个群。或者在不引起混淆的情况下省去称Z/是一个群。 此外对于Z/运算还满足另一个性质对于任意A、B∈Z/ABBA证明设A[i]B[j]则AB[i][j][ij][ji][j][i]BA说明上述情况下称运算是可交换的或满足交换律。称Z/相对运算是交换群有时候又称为可换群。 Z/作为一个群其元素个数是有限的故称为有限群。 说明对于群Z/为了突出它与模n的关系我们常简记为Zn。后面将一直使用这个记号请注意。转载于:https://www.cnblogs.com/efzju/archive/2011/08/02/2125618.html
