医疗器械网站建设,自己做的网站链接,网站开发的常用软件,前端设计除了做网站还能做什么本段的核心思想是仿造。当我们想要仿造一个东西的时候#xff0c;无形之中都会按照上文提到的思路#xff0c;即先保证大体上相似#xff0c;再保证局部相似#xff0c;再保证细节相似#xff0c;再保证更细微的地方相似……不断地细化下去#xff0c;无穷次细化以后无形之中都会按照上文提到的思路即先保证大体上相似再保证局部相似再保证细节相似再保证更细微的地方相似……不断地细化下去无穷次细化以后仿造的东西将无限接近真品。真假难辨。这是每个人都明白的生活经验。
一位物理学家把这则生活经验应用到他自己的研究中则会出现下列场景一辆随意行驶的小车走出了一个很诡异的轨迹曲线 物理学家觉得这段轨迹很有意思也想开车走一段一摸一样的轨迹。既然是复制他把刚才关于“仿造”生活经验应用到这里提出了一个解决办法既然想模仿刚才那辆车那首先应该保证初始位置一样继续模仿让车在初始位置的速度也一样不满足继续细化这次保持位置、在初始位置处的速度一样的同时保证在初始位置处车的加速度也一样不满足继续细化这次保证初始位置、初始位置处的速度、初始位置处的加速度都一样也保证初始位置处的加速度的变化率也一样不满足精益求精可以一直模仿下去。物理学家得出结论把生活中关于“仿造”的经验运用到运动学问题中如果想仿造一段曲线那么首先应该保证曲线的起始点一样其次保证起始点处位移随时间的变化率一样速度相同再次应该保证前两者相等的同时关于时间的二阶变化率一样加速度相同……如果随时间每一阶变化率每一阶导数都一样那这俩曲线肯定是完全等价的。
1. 泰勒 下面就是严谨的计算了。 先算个一阶的。 再来个二阶的。 到这里不光是泰勒我们普通人也能大概想象得到如果继续继续提高阶数相似范围继续扩大无穷高阶后整个曲线都无限相似。插个图利用计算机可以快速实现。 泰勒的故事讲完了但是事情没完因为泰勒没有告诉你到底该求导几次。
于是剩下一帮人帮他擦屁股。第一个帮他擦屁股的叫佩亚诺。他把上面式子中的省略号中的东西给整出来了。然而最终搁浅了不太好用。后面拉格朗日又跳出来帮佩亚诺擦屁股。至此故事大结局。
首先讲讲佩亚诺的故事。
2. 佩亚诺 佩亚诺开始思考误差的事。先不说佩亚诺假如让你思考这个问题你会有一个怎样的思路既然是误差肯定越小越小对吧。所以当我们思考误差的时候很自然的逻辑就是让这个误差趋近于0。佩亚诺也是这么想的他的大方向就是令后面这半部分近似等于0
一旦后半部分很接近0了那么就可以省去了只展开到n阶就可以了泰勒展开就可以用了。但是他不知道如何做到。
后来他又开始琢磨泰勒的整个思路先保证初始点位置相同再保证一阶导数相同有点相似了再保证二阶导数相同更细化了再保证三阶导数相同……突然灵光闪现**泰勒展开是逐步细化的过程也就是说每一项都比前面一项更加精细化更小。**举个例子你想把90斤粮食添到100斤第一次添了一大把变成99斤了第二次添了一小把变成99.9斤了第三次添了一小撮变成99.99斤了……每一次抓的粮食都比前一次抓的少。泰勒展开式里面也是这样的 由此可见最后一项n阶是最小的。皮亚诺心想只要让总误差后面的所有项的总和比这一项还要小不就可以把误差忽略了吗
现在的任务就是比较大小比较泰勒展开式中的最后一项、与误差项的大小即
如何比较大小高中生都知道比较大小无非就是作差或者坐商。不能确定的话一个个试一下。最终皮亚诺用的坐商。他用误差项除以泰勒展开中的最小的项整理后得到 我不知道你们看到这里是什么感觉可能你觉得佩亚诺好棒也可能觉得这不糊弄人嘛。
反正为了纪念佩亚诺的贡献大家把上面的误差项成为佩亚诺余项。
总结一下佩亚诺的思路首先他把泰勒展开式中没有写出来的那些项补全然后他把这些项之和称为误差项之后他想把误差项变为0考虑到泰勒展开式中的项越来越小他就让误差项除以最后一项试图得到0的结果最后发现只有当xxx趋近于x0x_0x0时这个商才趋近于0索性就这样了。
佩亚诺的故事讲完了他本想完善泰勒展开然而他的成果只能算xxx趋近于x0x_0x0时的情况。这时候拉格朗日出场了。
3. 拉格朗日 把上面的这个简单的问题用数学语言描述出来就是拉格朗日中值定理 后来啊拉格朗日的中值定理被柯西看到了柯西牛逼啊天生对于算式敏感。柯西认为纵坐标是横坐标的函数那我也可以把横坐标写成一个函数啊于是他提出了柯西中值定理 拉格朗日听说了这事心里愤愤不平又觉得很可惜明明是自己的思路就差这么一步就让柯西捡便宜了不过柯西确实说的有道理。
这件事给拉格朗日留下了很深的心理阴影。接下来拉格朗日开始思考泰勒级数的误差问题他同佩亚诺一样只考虑误差部分见前文。
插一句各位老铁接下来拉格朗日的操作绝壁开挂了我实在是编不出来他的脑回路。
首先跟佩亚诺一样先把误差项写出来并设误差项为R(x)R(x)R(x) 拉格朗日继续复制这种思路想看看能不能继续往下写
先看分子 再看分母 本文涵盖泰勒展开式、佩亚诺余项、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、拉格朗日余项。全文完毕。
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4. 麦克劳林级数
通过函数在自变量零点的导数求得的泰勒级数又叫做麦克劳林级数以苏格兰数学家科林·麦克劳林的名字命名。
4.1 几个重要的麦克劳林级数
4.1.1 几何级数
4.1.2 二项式级数 4.1.3 指数函数和自然对数 4.1.4 三角函数 4.1.5 双曲函数 4.1.6 朗伯W函数
